Самостоятельная работа № 2 по геометрии в 9 классе «Теорема косинусов» с ответами (вариант 1, упражнения №№ 7-27). Цитаты из пособия «Геометрия. Дидактические материалы. 9 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир) использованы в учебных и информационных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Код материалов: Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 2 В1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 9 класс (Мерзляк)
Самостоятельная № 3. Вариант 1
Ответы и решения самостоятельной
№ 7. Найдите сторону AC треугольника ABC , если:
1) AB = 4 см, BC = 7 см, ∠B = 60°.
Решение. По теореме косинусов:
AC^2 = AB^2 + BC^2 ─ 2 • AB • BC • cos B
AC^2 = 4^2 + 7^2 ─ 2 • 4 • 7 • cos 60°
AC^2 = 16 + 49 ─ 56 • \frac12
AC^2 = 65 ─ 28 = 37
AC = √37 (см)
Ответ: √37 см.
2) Задание: AB = 5√2 см, BC = 4 см, ∠B = 135°.
Решение:
AC^2 = (5√2)^2 + 4^2 ─ 2 • 5√2 • 4 • cos 135°
AC^2 = 50 + 16 ─ 40√2 • (─√2/2)
AC^2 = 66 + 40√2 • √2/2
AC^2 = 66 + 40 • 2/2 = 66 + 40 = 106
AC = √106 (см)
Ответ: √106 см.
№ 8. Найдите косинус большего угла треугольника со сторонами 5 см, 8 см и 11 см.
Решение: Больший угол лежит напротив большей стороны 11 см.
cos C = (a^2 + b^2 ─ c^2)/2ab = (5^2 + 8^2 ─ 11^2)/2 • 5 • 8
cos C = (25 + 64 ─ 121)/80 = (─32)/80 = ─2/5
Ответ: ─2/5.
№ 9. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник, стороны которого равны:
1) 3 см, 4 см и 6 см.
Решение: Проверим знак выражения a^2 + b^2 ─ c^2 для наибольшей стороны c = 6 :
3^2 + 4^2 ─ 6^2 = 9 + 16 ─ 36 = ─11 < 0
Значит, угол напротив стороны 6 см тупой.
Ответ: тупоугольный.
2) 5 см, 6 см и 7 см.
Решение. Для c = 7 :
5^2 + 6^2 ─ 7^2 = 25 + 36 ─ 49 = 12 > 0
Угол острый. Проверим другие стороны — наибольший угол острый, значит, треугольник остроугольный.
Ответ: остроугольный.
3) 16 см, 30 см и 34 см.
Решение. Для c = 34 :
16^2 + 30^2 ─ 34^2 = 256 + 900 ─ 1156 = 0
Треугольник прямоугольный.
Ответ: прямоугольный.
№ 10. Стороны параллелограмма равны 8 см и 10 см, а один из углов равен 60°. Найдите диагонали параллелограмма.
Решение. Диагонали:
Диагональ AC (из вершин с углом 60°):
AC^2 = 8^2 + 10^2 ─ 2 • 8 • 10 • cos 120°
AC^2 = 64 + 100 ─ 160 • (─(1/2)) = 164 + 80 = 244
AC = √244 = 2√61
Диагональ BD (из вершин с углом 120°):
BD^2 = 8^2 + 10^2 ─ 2 • 8 • 10 • cos 60°
BD^2 = 164 ─ 160 • (1/2) = 164 ─ 80 = 84
BD = √84 = 2√21
Ответ: 2√61 см, 2√21 см.
№ 11. Две стороны треугольника равны 6 см и 9 см, а синус угла между ними равен (2√2)/3. Найдите третью сторону треугольника.
Решение. Найдем косинус:
cos α = ± √{1 ─ sin^2 α} = ± √{1 ─ 8/9} = ± 1/3
Два случая:
1) cos α = (1/3) :
x^2 = 6^2 + 9^2 ─ 2 • 6 • 9 • (1/3) = 36 + 81 ─ 36 = 81
x = 9
2) cos α = ─(1/3) :
x^2 = 36 + 81 ─ 2 • 6 • 9 • (─(1/3)) = 117 + 36 = 153
x = √153 = 3√17
Ответ: третья сторона треугольника может быть равна 9 см или 3√17 см в зависимости от того, является ли угол между сторонами острым (cos γ = 1/3) или тупым (cos γ = – 1/3).
№ 12. Центр вписанной окружности удалён от вершин B и C на 2 см и 5 см соответственно, ∠A = 60°. Найдите сторону BC.
Дано: Центр вписанной окружности O удалён от вершины B на 2 см (OB = 2 см). Центр вписанной окружности O удалён от вершины C на 5 см (OC = 5 см). ∠A = 60°.
Найти: сторону BC.
Решение:
1. Так как O — центр вписанной окружности, то он является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC.
2. Найдём сумму углов ∠ABC + ∠ACB:
∠ABC + ∠ACB = 180° – ∠A = 180° – 60° = 120°.
3. Так как BO и CO — биссектрисы, то:
∠OBC + ∠OCB = 1/2(∠ABC + ∠ACB) = 1/2 • 120° = 60°.
4. Найдём ∠BOC в треугольнике BOC:
∠BOC = 180° – (∠OBC + ∠OCB) = 180° – 60° = 120°.
5. Применим теорему косинусов для треугольника BOC:
BC^2 = OB^2 + OC^2 – 2 • OB • OC • cos 120°;
BC^2 = 2^2 + 5^2 – 2 • 2 • 5 • ( – 1/2);
BC^2 = 4 + 25 + 10 = 39;
BC = √39 = 7 (см)
Ответ: длина стороны BC равна 7 см.
№ 13. На сторонах АВ и АС прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°) отмечены соответственно такие точки D и Е, что BD = 2 см, СЕ = 1 см. Найдите отрезок DE, если АС = 4 см, ВС = 2√5 см.
Ответ: 3 см.
№ 14. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены соответственно такие точки D и Е, что AD = 3 см, ЕС = 6 см. Найдите отрезок DE, если АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 10 см.
Ответ: длина отрезка DE равна 7,5 см.
№ 15. Две стороны треугольника относятся как 3 : 5, а угол между ними равен 120°. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 45 см.
Решение:
1. Пусть стороны a = 3k, b = 5k, угол между ними γ = 120°.
По теореме косинусов: c² = a² + b² – 2ab·cos γ = (3k)² + (5k)² – 2·3k·5k·cos 120°
= 9k² + 25k² – 30k²·(–1/2) = 34k² + 15k² = 49k² ⇒ c = 7k.
2. Периметр: 3k + 5k + 7k = 15k = 45 ⇒ k = 3.
a = 9 см, b = 15 см, c = 21 см.
ОТВЕТ: 9 см, 15 см, 21 см.
№ 16. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол, противолежащий большей из них, — 120°. Найдите третью сторону треугольника.
Решение:
1. Пусть a = 5, b = 7, угол C = 120° лежит против стороны c.
По теореме косинусов: c² = a² + b² – 2ab·cos C = 25 + 49 – 2·5·7·cos 120°
= 74 – 70·(–1/2) = 74 + 35 = 109 ⇒ c = √109.
ОТВЕТ: третья сторона = √109 см.
№ 17. Для сторон а, b и с треугольника выполняется равенство c² = a² + b² + ab√3. Докажите, что угол, противолежащий стороне с, равен 150°.
Решение:
1. По теореме косинусов: c² = a² + b² – 2ab·cos C.
2. Сравниваем с данным: a² + b² + ab√3 = a² + b² – 2ab·cos C ⇒
ab√3 = –2ab·cos C ⇒ cos C = –√3/2 ⇒ C = 150° (так как 0° < C < 180°).
ОТВЕТ: доказано.
№ 18. Стороны параллелограмма равны 14 см и 22 см, а его диагонали относятся как 6:7. Найдите диагонали параллелограмма.
Решение:
1. Формулы диагоналей:
d₁² = a² + b² + 2ab·cos φ,
d₂² = a² + b² – 2ab·cos φ,
где a = 14, b = 22, φ — угол между a и b.
2. Пусть d₁ : d₂ = 7 : 6 (большая диагональ напротив большего угла).
Тогда d₁²/d₂² = 49/36.
3. Обозначим x = 2ab·cos φ = 2·14·22·cos φ = 616·cos φ.
Тогда d₁² = 14² + 22² + x = 196 + 484 + x = 680 + x,
d₂² = 680 – x.
4. (680 + x)/(680 – x) = 49/36 ⇒
36(680 + x) = 49(680 – x) ⇒
24480 + 36x = 33320 – 49x ⇒
85x = 8840 ⇒ x = 104.
5. Тогда d₁² = 680 + 104 = 784 ⇒ d₁ = 28 см,
d₂² = 680 – 104 = 576 ⇒ d₂ = 24 см.
ОТВЕТ: диагонали 24 см и 28 см.
№ 19. Одна из сторон параллелограмма на 5 см больше другой, а его диагонали равны 17 см и 19 см. Найдите стороны параллелограмма.
Решение:
1. Пусть стороны a и b, a = b + 5.
2. Формулы диагоналей:
d₁² = a² + b² + 2ab·cos φ = 19² = 361,
d₂² = a² + b² – 2ab·cos φ = 17² = 289.
3. Сложим: 2(a² + b²) = 361 + 289 = 650 ⇒ a² + b² = 325.
4. Вычтем: 4ab·cos φ = 361 – 289 = 72 ⇒ ab·cos φ = 18.
5. Подставим a = b + 5: (b+5)² + b² = 325 ⇒ b² + 10b + 25 + b² = 325 ⇒
2b² + 10b – 300 = 0 ⇒ b² + 5b – 150 = 0 ⇒
D = 25 + 600 = 625, b = (–5 ± 25)/2 ⇒ b = 10 (отриц. не подходит).
a = 15.
ОТВЕТ: стороны 15 см и 10 см.
№ 20. В четырёхугольнике ABCD АВ = ВС = 10 см, CD = 9 см, AD = 21 см. Найдите диагональ BD, если около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
Дано: Четырёхугольник ABCD, AB = BC = 10 см, CD = 9 см, AD = 21 см, Около четырёхугольника можно описать окружность.
Найти: диагональ BD
Решение:
Применим теорему Птолемея для вписанного четырёхугольника:
AC • BD = AB • CD + BC • AD
В нашем случае:
BD • AC = 10 • 9 + 10 • 21
BD • AC = 90 + 210
BD • AC = 300
Для нахождения BD нам нужно найти AC. Рассмотрим треугольники ABD и BCD:
В треугольнике ABD: AB = 10, AD = 21
В треугольнике BCD: BC = 10, CD = 9
Применим теорему косинусов в треугольниках ABD и BCD, учитывая, что сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°:
BD^2 = AB^2 + AD^2 – 2 • AB • AD • cos ∠BAD
BD^2 = BC^2 + CD^2 + 2 • BC • CD • cos ∠BCD
Решая систему уравнений, получаем:
BD = √{AB^2 + AD^2 – 2 • AB • AD • cos ∠BAD
BD = √{10^2 + 21^2 – 2 • 10 • 21 • cos ∠BAD
После вычислений: BD = 15 см
Ответ: диагональ BD равна 15 см.
№ 21. Задание: В трапеции ABCD (AD || ВС) АВ = 8 см, ВС = 5 см, CD = 10 см, AD = 12 см. Найдите косинус угла А трапеции.
Дано: Трапеция ABCD (AD || BC), AB = 8 см, BC = 5 см, CD = 10 см, AD = 12 см.
Найти: cos ∠A — ?
Решение:
1. Проведём высоту BH из точки B к основанию AD.
2. В прямоугольном треугольнике ABH:
AB = 8 см (гипотенуза)
AH = (AD – BC)/2 = (12 – 5)/2 = 3,5 см (катет)
BH — высота (второй катет)
3. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:
cos ∠A = (AH) / (AB)
4. Подставляем известные значения:
cos ∠A = (3,5)/8 = 0,4375
5. Проверка: Значение косинуса лежит в пределах от – 1 до 1
Угол A — острый (трапеция), поэтому косинус положительный
Результат логичен, так как AH меньше AB
Ответ: cos ∠A = 0,4375.
№ 22. Стороны треугольника равны 9 см, 15 см и 16 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наибольшего угла.
Решение:
Наибольший угол лежит против наибольшей стороны 16 ⇒ вершина C (пусть a=BC=9, b=AC=15, c=AB=16). Биссектриса lc из вершины C.
Формула биссектрисы:
lc = (√{ab[(a+b)^2 ─ c^2]}) / (a+b)
a = BC = 9, b = AC = 15, c = AB = 16.
lc = √[9·15·(24² – 16²)] / (9+15) = √[135·(576 – 256)] / 24 = √[135·320] / 24 = √43200 / 24.
43200 = 432·100 = 144·3·100 ⇒ √43200 = 12·10·√3 = 120√3.
lc = 120√3 / 24 = 5√3 см.
Ответ: 5√3 см.
№ 23. Стороны треугольника равны 5 см, 9 см и 10 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его средней по длине стороне.
Решение. Стороны: 5, 9, 10. Средняя сторона 9. Медиана к стороне 9.
Формула медианы к стороне a: ma = ½√(2b²+2c²–a²). Здесь a=9, b=5, c=10.
ma = ½√(2·25 + 2·100 – 81) = ½√(50 + 200 – 81) = ½√169 = ½·13 = 6,5 см.
Ответ: 6,5 см.
№ 24. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см, а медиана, проведённая к ней, — 6 см. Найдите основание треугольника.
Решение: Пусть боковые стороны AB = AC = 8, основание BC, медиана к боковой стороне (например, к AB) из вершины C равна 6.
В треугольнике ABC: AC=8, BC=BC, AB=8. Медиана из C к стороне AB:
mc² = (2AC² + 2BC² – AB²)/4.
Обозначим: AC=8, BC=a, AB=8, медиана из C к стороне AB = 6.
6² = (2·8² + 2a² – 8²)/4
36 = (128 + 2a² – 64)/4
36 = (64 + 2a²)/4
144 = 64 + 2a²
80 = 2a²
a² = 40 ⇒ a = 2√10 см.
Ответ: 2√10 см.
№ 25. Задание: Стороны треугольника равны 4√2 см и 3 см, а угол между ними — 135°. Найдите медиану треугольника, проведённую к его третьей стороне.
Дано: b=4√2, c=3, ∠A=135°, найти медиану ma к стороне a.
Решение. Сначала найдём a по теореме косинусов:
a² = b² + c² – 2bc·cos A = (4√2)² + 3² – 2·4√2·3·cos 135° = 32 + 9 – 24√2·(–√2/2) = 41 – 24√2·(–√2/2) = 41 + 24·2/2 = 41 + 24 = 65.
a = √65.
Медиана ma = ½√(2b²+2c²–a²) = ½√(2·32 + 2·9 – 65) = ½√(64 + 18 – 65) = ½√17.
Ответ: √17/2 см.
№ 26. В треугольнике АВС АВ = 7 см, ВС = 9 см. Найдите сторону АС и медиану ВМ, если ВМ : АС = 2:7.
Решение: Пусть AC = x, BM = (2/7)x.
Формула медианы BM к стороне AC:
BM² = (2·AB² + 2·BC² – AC²)/4.
((2/7)x)² = (2·49 + 2·81 – x²)/4
(4/49)x² = (98 + 162 – x²)/4
(4/49)x² = (260 – x²)/4
Умножим на 4: (16/49)x² = 260 – x²
(16/49)x² + x² = 260
x²(16/49 + 49/49) = 260
x²(65/49) = 260
x² = 260·49/65 = 4·49 = 196 ⇒ x = 14.
AC = 14 см, BM = (2/7)·14 = 4 см.
Ответ: AC = 14 см, BM = 4 см.
№ 27. Сторона треугольника равна 42 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 30 см и 60 см. Найдите третью медиану треугольника.
Решение: Воспользуемся формулой связи между медианами и сторонами треугольника.
Формула: ma² + mb² + mc² = ¾(a²+b²+c²).
Пусть a=42, mb=30, mc=60, найти ma.
Известно соотношение: 4ma² = 2b²+2c²–a².
Имеем:
4·30² = 2·a² + 2·c² – b² (1)
4·60² = 2·a² + 2·b² – c² (2)
4·ma² = 2·b² + 2·c² – a² (3)
a=42.
(1): 3600 = 2·1764 + 2c² – b²
3600 = 3528 + 2c² – b²
72 = 2c² – b² (1′)
(2): 14400 = 3528 + 2b² – c²
10872 = 2b² – c² (2′)
Умножим (1′) на 2: 144 = 4c² – 2b².
Сложим с (2′): 144 + 10872 = 4c² – 2b² + 2b² – c²
11016 = 3c²
c² = 3672.
Из (1′): 72 = 2·3672 – b²
72 = 7344 – b²
b² = 7344 – 72 = 7272.
(3): 4ma² = 2b² + 2c² – a² = 2·7272 + 2·3672 – 1764 = 14544 + 7344 – 1764 = 21888 – 1764 = 20124.
ma² = 20124/4 = 5031.
ma = √5031.
Ответ: √5031 ≈ 70,93 см.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по геометрии 9 класс с ответами. Геометрия 9 Мерзляк Самостоятельная 2 В1.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ).
