Геометрия 9 Контрольная 6 (Мерзляк)

Геометрия 9 Контрольная 6 (Мерзляк). Итоговая контрольная работа по геометрии в 9 классе «Обобщение и систематизация знаний учащихся» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов.

Вернуться к Списку контрольных по геометрии 9 класс

Геометрия 9 класс (УМК Мерзляк)
Итоговая контрольная работа

Обобщение и систематизация знаний учащихся

К-6 Варианты 1, 2, 3, 4 (задания)

 

ОТВЕТЫ на контрольную работу № 6

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Две стороны параллелограмма равны 3 см и 2√2 см, а угол между ними – 135°. Найдите: 1) большую диагональ параллелограмма; 2) площадь параллелограмма.

Решение: 1) Противоположные углы параллелограмма равны, а соседние (односторонние) в сумме дают 180° ⇒ ∠ABC + ∠BAD = 180°
∠ABC = 180° – ∠BAD = 180° – 135° = 45°.
Против большего угла параллелограмма лежит большая диагональ.
∠BAD > ∠ABC  ⇒  необходимо найти BD.
В △ABD по теореме косинусов:
BD² = AB² + AD² – 2•AB•AD•CosA = (2√2)² + 3² – 2•2√2•3•Cos135°
BD² = 8 + 9 – 12 • √2 • (–1/√2) = 17 + 12 • 1 = 29
BD = √29 (см).
2) Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: S = a•b•Sinα, где a и b – его стороны, а α – угол между сторонами =>
S = AB·• AD·• SinA = 2√2·• 3·• Sin135° = 6 • √2 • 1/√2 = 6 (см2)
ОТВЕТ: 1) √29 см; 2) 6 см2.

№ 2. В треугольнике ABC известно, что BC = √3 см, AC = √2 см, ∠B = 45°. Найдите угол A.
Решение: BC / Sin A = AC / Sin B
Sin A = BC • Sin B / AC = √3 • (√2/2) / √2 = √3/2.
ОТВЕТ:
∠А = 60°.

№ 3. Около правильного треугольника ABC со стороной 12 см описана окружность с центром O. 1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу AC. 2) Какой отрезок является образом стороны BC при повороте вокруг центра O против часовой стрелки на угол 120°?

Решение: 1) R = a/√3 = 12/√3 (см)
Так как вершины треугольника разбивают окружность на 3 равные части то площадь сектора = (1/3) площади круга
Sc = (πr2)/3 = π • (12/√3)2 / 3 = 48π/3 = 16π ≈ 50,3 (см2)
2) образом стороны ВС при повороте вокруг центра О против часовой стрелки на угол 120 градусов является отрезок АB
ОТВЕТ: 1) 16
π см2; 2) АВ.

№ 4. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (–1; –1), B (–3; 1), C (1; 5) и D (3; 3) является прямоугольником.
Доказательство:
вектор АВ(–2; 2); вектор DC(2; –2) => AB = DC.
вектор AD(4; 4);
AB • AD = –2 • 4 + 2 • 4 = 0 => ∠A = 90°.
=> ABCD – прямоугольник.

№ 5. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности (x + 4)2 + (y – 5)2 = 49 при параллельном переносе на вектор a (–2; 6).
Решение: (x + 4)2 + (y – 5)2 = 72
Центр исходной окружности О(–4; 5), радиус R = 7
Переносим на вектор а (–2; 6), для этого к координатам О прибавим координаты вектора а. Получим новый центр:
О1 (–4 – 2; 5 + 6)  =>  O1 (–6; 11)
Радиус при переносе остается прежним, запишем новое уравнение^
(х + 6)2 + (у – 11)2 = 72.
ОТВЕТ: (х + 6)2 + (у – 11)2 = 49.

№ 6. Найдите косинус угла между векторами а и b, если векторы m = а + 2b и n = 6аb перпендикулярны, |а| = 1, |b| = 2.
ОТВЕТ:
cos α = 1/11.


ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Две стороны параллелограмма равны 4 см и 4√3 см, а угол между ними – 30°. Найдите: 1) большую диагональ параллелограмма; 2) площадь параллелограмма.
ОТВЕТ:
1) 4 см; 2) 8√3 см2.

№ 2. В треугольнике ABC известно, что AC = 3√2 см, BC = 3 см, ∠A = 30°. Найдите угол B.
ОТВЕТ: 45
°.

№ 3. Около квадрата ABCD со стороной 8 см описана окружность с центром O. 1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу BC. 2) Какой отрезок является образом стороны AD при повороте вокруг центра O по часовой стрелке на угол 90°?
ОТВЕТ: 1) 8π см2; 2) ВС.

№ 4. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (–3; 3), B (2; 4), C (1; –1) и D (–4; –2) является ромбом.
Доказательство:
вектор АВ(5; 1); вектор DC(–5; –1) => AB = DC.
вектор ВС(–1; –5) => AB = DC = BC => ABCD – ромб.

№ 5. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности (x – 3)2 + (y + 2)2 = 64 при параллельном переносе на вектор a (–1; 7).
ОТВЕТ: (х – 4)2 + (у + 9)2 = 64.

№ 6. Найдите косинус угла между векторами m и n , если векторы a = 2m – n и b = m + 4n перпендикулярны, |m| = 3, |n| = 1.
ОТВЕТ: –2/3.


ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Две стороны параллелограмма равны 8 см и 3 см, а угол между ними – 120°. Найдите: 1) большую диагональ параллелограмма; 2) площадь параллелограмма.

Решение:
Противоположные углы параллелограмма равны, а соседние (односторонние) в сумме дают 180° ⇒ ∠ABC + ∠BAD = 180°
∠ABC = 180° – ∠BAD = 180° – 120° = 60°.
Против большего угла параллелограмма лежит большая диагональ.
∠BAD > ∠ABC  ⇒  необходимо найти BD.
В △ABD по теореме косинусов:
BD² = AB² + AD² – 2•AB•AD•CosA = 8² + 3² – 2•8•3•Cos120°
BD² = 64 + 9 – 48 • (–1/2) = 73 + 24 = 97
BD = √97 (см).
2) Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: S = a•b•Sinα, где a и b – его стороны, а α – угол между сторонами =>
S = AB • AD • SinA = 8 • 3 • Sin120° = 24 • √3/2 = 12√3 (см2)
ОТВЕТ: 1) √97 см; 2) 12√3 см2.

№ 2. В треугольнике DEF известно, что DF = 8√2 см, EF = 8√3 см, ∠E = 45°. Найдите угол D.
ОТВЕТ: 60
°.

№ 3. Около правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 6 см описана окружность с центром O. 1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу CD. 2) Какой отрезок является образом стороны AB при повороте вокруг центра O против часовой стрелки на угол 120°?
ОТВЕТ: 1) 6π см2; 2)
AF.

№ 4. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (–2; 2), B (–5; –1), C (–1; –5) и D (2; –2) является прямоугольником.
Доказательство:
Вектор АВ(–3; –3); вектор DC(–3; –3) =>
AB = DC и AB || DC.
Вектор AD(4; –4);
AB • AD = –12 + 12 = 0 => ∠A = 90°.
=> ABCD – прямоугольник.

№ 5. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности (x + 7)2 + (y – 1)2 = 81 при параллельном переносе на вектор a (3; – 8).
ОТВЕТ:
(x + 10)2 + (y – 9)2 = 81.

№ 6. Найдите косинус угла между векторами a и b, если векторы m = a + 3b и n = 5ab перпендикулярны, |а| = 1, |b| = 4.
ОТВЕТ: 43/56.


ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. Две стороны параллелограмма равны 3 см и 4√2 см, а угол между ними – 135°. Найдите: 1) большую диагональ параллелограмма; 2) площадь параллелограмма.
ОТВЕТ: 1) √65 см; 2) 12 см2.

№ 2. В треугольнике DEF известно, что EF = 10√3 см, DE = 10 см, ∠F = 30°. Найдите угол D.
ОТВЕТ: 60
°.

№ 3. Около правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 3 см описана окружность с центром O. 1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу ABC. 2) Какой отрезок является образом стороны BC при повороте вокруг центра O по часовой стрелке на угол 60°?
ОТВЕТ: 1) 3π см2; 2) СР.

№ 4. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (3; 3), B (5; –1), C (1; 1) и D (–1; 5) является ромбом.
Доказательство:
вектор АВ(2; –4); вектор DC(2; –4) =>
AB = DC и AB || DC.
вектор ВС(–4; 2) => AB = DC = BC => ABCD – ромб.

№ 5. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности (x – 6)2 + (y + 8)2 = 25 при параллельном переносе на вектор a (2; – 4).
ОТВЕТ: (x – 4)2 + (y + 4)2 = 25.

№ 6. Найдите косинус угла между векторами m и n, если векторы a = 4m – n и b = m + 5n перпендикулярны, |m| = 2, |n| = 1.
ОТВЕТ: 9/38.

 

Вернуться к Списку контрольных по геометрии 9 класс

 


Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 6 (Мерзляк). Итоговая контрольная работа по геометрии в 9 классе «Обобщение и систематизация знаний учащихся за год» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов. Цитаты из пособия «Геометрия 9 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Геометрия 9 Контрольная 6 (Мерзляк): 3 комментария

Добавить комментарий

На сайте используется ручная модерация. Срок проверки комментариев: от 1 часа до 3 дней