Геометрия 9 Контрольная 6 В12 Мерзляк

Итоговая контрольная работа по геометрии в 9 классе «Обобщение и систематизация знаний учащихся» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир Варианты 1, 2. Код материалов: Геометрия 9 Контрольная 6 В12 Мерзляк.
Вернуться к Списку контрольных

Геометрия (УМК Мерзляк)
Итоговая контрольная работа

Обобщение и систематизация знаний учащихся

К-6 Варианты 1, 2 (задания)

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-6 Варианты 3-4

 

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Две стороны параллелограмма равны 3 см и 2√2 см, а угол между ними – 135°. Найдите: 1) большую диагональ параллелограмма; 2) площадь параллелограмма.
ОТВЕТ: 1) √29 см; 2) 6 см².

Решение: 1) Противоположные углы параллелограмма равны, а соседние (односторонние) в сумме дают 180° ⇒ ∠ABC + ∠BAD = 180°
∠ABC = 180° – ∠BAD = 180° – 135° = 45°.
Против большего угла параллелограмма лежит большая диагональ.
∠BAD > ∠ABC  ⇒  необходимо найти BD.
В △ABD по теореме косинусов:
BD² = AB² + AD² – 2•AB•AD•CosA = (2√2)² + 3² – 2•2√2•3•Cos135°
BD² = 8 + 9 – 12 • √2 • (–1/√2) = 17 + 12 • 1 = 29
BD = √29 (см).
2) Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: S = a•b•Sinα, где a и b – его стороны, а α – угол между сторонами =>
S = AB·• AD·• SinA = 2√2·• 3·• Sin135° = 6 • √2 • 1/√2 = 6 (см²)

№ 2. В треугольнике ABC известно, что BC = √3 см, AC = √2 см, ∠B = 45°. Найдите угол A.
ОТВЕТ: ∠А = 60°.
Краткое решение: BC / Sin A = AC / Sin B
Sin A = BC • Sin B / AC = √3 • (√2/2) / √2 = √3/2.

№ 3. Около правильного треугольника ABC со стороной 12 см описана окружность с центром O. 1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу AC. 2) Какой отрезок является образом стороны BC при повороте вокруг центра O против часовой стрелки на угол 120°?
ОТВЕТ: 1) 16π см²; 2) АВ.

Краткое решение: 1) R = a/√3 = 12/√3 (см)
Так как вершины треугольника разбивают окружность на 3 равные части то площадь сектора = (1/3) площади круга
S_c = (πr²)/3 = π • (12/√3)² / 3 = 48π/3 = 16π ≈ 50,3 (см²)
2) образом стороны ВС при повороте вокруг центра О против часовой стрелки на угол 120 градусов является отрезок АB.

№ 4. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (–1; –1), B (–3; 1), C (1; 5) и D (3; 3) является прямоугольником.
Краткое решение:
>> вектор АВ(–2; 2); вектор DC(2; –2) => AB = DC.
>> вектор AD(4; 4);
>> AB • AD = –2 • 4 + 2 • 4 = 0 => ∠A = 90°.
=> ABCD – прямоугольник.

№ 5. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности (x + 4)² + (y – 5)² = 49 при параллельном переносе на вектор a (–2; 6).
ОТВЕТ: (х + 6)² + (у – 11)² = 49.
Краткое решение: в уравнении (x + 4)² + (y – 5)² = 7²
центр исходной окружности О(–4; 5), радиус R = 7.
Переносим на вектор а (–2; 6), для этого к координатам О прибавим координаты вектора а. Получим новый центр:
О₁ (–4 – 2; 5 + 6)  =>  O₁ (–6; 11)
Радиус при переносе остается прежним, запишем новое уравнение: (х + 6)² + (у – 11)² = 7².

№ 6. Найдите косинус угла между векторами а и b, если векторы m = а + 2b и n = 6а – b перпендикулярны, |а| = 1, |b| = 2.
ОТВЕТ: cos α = 1/11.

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-6 Варианты 3-4

Геометрия 9 Контрольная 6 В12

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Две стороны параллелограмма равны 4 см и 4√3 см, а угол между ними – 30°. Найдите: 1) большую диагональ параллелограмма; 2) площадь параллелограмма.
ОТВЕТ: 1) 4√7 см; 2) 8√3 см².

№ 2. В треугольнике ABC известно, что AC = 3√2 см, BC = 3 см, ∠A = 30°. Найдите угол B.
ОТВЕТ: 45°.

№ 3. Около квадрата ABCD со стороной 8 см описана окружность с центром O. 1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу BC. 2) Какой отрезок является образом стороны AD при повороте вокруг центра O по часовой стрелке на угол 90°?
ОТВЕТ: 1) 8π см²; 2) DС.

№ 4. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (–3; 3), B (2; 4), C (1; –1) и D (–4; –2) является ромбом.

№ 5. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности (x – 3)² + (y + 2)² = 64 при параллельном переносе на вектор a (–1; 7).
ОТВЕТ: (х – 2)² + (у – 5)² = 64.
Краткое решение: O(3; –2) ⇒ O*(2; 5).

№ 6. Найдите косинус угла между векторами m и n , если векторы a = 2m – n и b = m + 4n перпендикулярны, |m| = 3, |n| = 1.
ОТВЕТ: –2/3.

 

Вернуться к Списку контрольных по геометрии

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-6 Варианты 3-4

 

---

Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 6 В12 (Мерзляк). Итоговая контрольная работа по геометрии в 9 классе «Обобщение и систематизация знаний учащихся за год» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир Варианты 1-2.

Цитаты из пособия «Геометрия 9 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.