Контрольная работа по геометрии 9 класс с ответами «Правильные многоугольники» для УМК Мерзляк Варианты 3-4 из 4-х. Методическое пособие для учителей и родителей. Код материалов: Геометрия 9 Контрольная 2 В34 (Мерзляк) + Ответы и решения. Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 9 класс (УМК Мерзляк) Контрольная работа № 2
№ 1. Найдите углы правильного тридцатишестиугольника. ОТВЕТ: 170°. Решение: Сумма углов многоугольника равна 180°×(n-2). Так как у правильного многоугольника все углы равны, то величину угла можно вычислить как 180°×(n-2)/n. Для n = 36 угол равен 180°×34/36 = 170°.
№ 2. Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 9 см.
ОТВЕТ: 6π√3 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 3. В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 9 см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.
ОТВЕТ: 9√3 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 8√2 см, а радиус вписанной в него окружности – 8 см. Найдите: 1) сторону многоугольника; 2) количество сторон многоугольника. ОТВЕТ: 1) 16 см; 2) 4 стороны. Дано: R = 8√2 см; r = 8 см; Найти: 1) an; 2) n – ? Решение: 1) r = R cos (180°/n)
8 = 8√2 cos (180°/n) ⇒ cos (180°/n) = 8/8√2 = √2/2.
По таблице находим √2/2 = cos 45°
⇒ 180°/n = 45° ⇒ n = 4 (квадрат).
2) an = 2R sin (180°/n) = 2 • 8√2 • sin 45° = 16√2 • √2/2 = 16 (см).
№ 5. Сторона треугольника равна 5 см, а прилежащие к ней углы равны 45° и 105°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины. ОТВЕТ: 2,5π см; 35π/6 см; 5π/3 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Третий угол = 180 – 45 – 105 = 30⁰. Вписанные углы равны половине дуг, на которые они опираются, т.е. 90⁰, 210⁰ и 60⁰.
Радиус описанной окр. R = 5 / (2 sin 30°) = 5 / (2 • 1/2) = 5 см.
Длина всей окружности l = 2πR = 10π (см)
Дуги: (90/360)*10π = 2,5π (см)
(210/360)*10π = 35π/6 (см) (60/360)*10π = 5π/3 (см)
№ 6. Углы правильного треугольника срезали так, что получили правильный шестиугольник со стороной 8 см. Найдите сторону данного треугольника.
ОТВЕТ: 24 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Указание к решению: Проведем диагонали правильного шестиугольника ABCDEF, получим шесть РАВНОСТОРОННИХ треугольников (на чертеже отмечено). Диагональ правильного шестиугольника в два раза больше его стороны, т.е. 16 см. Срезанные углы треугольника тоже равносторонние треугольники. Следовательно сторона первоначального правильного треугольника равна 8 * 3 = 24 (см).
№ 1. Найдите углы правильного тридцатиугольника. ОТВЕТ: 168°. Решение: Сумма углов многоугольника равна 180°×(n-2). Так как у правильного многоугольника все углы равны, то величину угла можно вычислить как 180°×(n-2)/n.
Для n = 30 угол равен 180°×28/30 = 168°.
№ 2. Найдите площадь круга, описанного около квадрата со стороной 16 см. ОТВЕТ: 128π см2. Краткое решение: S = R2π. R = d/2 = a√2/2.
S = (16√2/2)2π = (8√2)2π = 82*2π = 2*64π = 128π (см2).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 3. Около окружности описан квадрат со стороной 36 см. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность. ОТВЕТ: 18√3 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 4. Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, равен 12 см, а сторона многоугольника – 8√3 см. Найдите: 1) радиус окружности, описанной около многоугольника; 2) количество сторон многоугольника. ОТВЕТ: 1) 8√3 см; 2) 6 сторон.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе окружности, вписанной в правильный многоугольник — в точке пересечения биссектрис его углов. На рисунке АВ — сторона, АО = ВО — биссектрисы углов правильного многоугольника. ОН — радиус вписанной окружности,
tg∠ОВН = ОН : ВН = √3.
Следовательно, ∠ОВН = 60°, угол многоугольника 120°, смежный с ним внешний угол равен 60°. Сумма внешних углов многоугольника 360°. Количество внешних углов, взятых по одному при вершинах, равно числу сторон многоугольника.
Число сторон 360° : 60° = 6.
Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен его стороне R6 = a6 = 8√3.
№ 5. Сторона треугольника равна 10√3 см, а прилежащие к ней углы равны 10° и 50°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины. ОТВЕТ: 10π/9 см; 50π/9 см; 40π/3 см.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Третий угол = 180⁰ – 10⁰ – 50⁰ = 120⁰. Вписанные углы равны половине дуг, на которые они опираются, т.е. 20⁰, 100⁰ и 240⁰.
Радиус описанной окр. R = 10√3 / (2 sin 120°) = 10√3 / √3 = 10 см.
Длина всей окружности l = 2πR = 20π (см)
Дуги: (20/360) • 20π = 10π/9 (см)
(100/360) • 20π = 50π/9 (см)
(240/360) • 20π = 40π/3 (см).
№ 6. Углы квадрата срезали так, что получили правильный восьмиугольник со стороной 4 см. Найдите сторону данного квадрата.
ОТВЕТ: 4 (√2 + 1) ≈ 9,66 см.
Вы смотрели: Геометрия 9 Контрольная 2 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 9 классе «Решение треугольников» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах. Методическое пособие Буцко.
