Контрольная работа по геометрии в 8 классе с ответами «Многоугольники. Площадь многоугольника» Варианты 3, 4 для УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Код материалов: Геометрия 8 Контрольная 6 В34 Мерзляк + Ответы. Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
№ 1. Чему равна сумма углов выпуклого 22–угольника? ОТВЕТ: 3600°. Решение: Чтобы найти сумму внутренних углов выпуклого 22-угольника, воспользуемся формулой для суммы углов выпуклого n-угольника: Σ = 180° × (n−2). Подставим n = 22:
Σ = 180° × (22−2) = 180° × 20 = 3600°.
№ 2. Площадь параллелограмма равна 112 см2, а одна из его высот – 14 см. Найдите сторону параллелограмма, к которой проведена эта высота. ОТВЕТ: 8 см. Краткое решение: S = ah => a = S/h = 112 : 14 = 8 (см).
№ 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а один из катетов – 10 см. ОТВЕТ: 120 см2. Решение: 1) а = √[262 – 102] = √[676 – 100] = 24 (см)
2) S = ab/2 = 10 • 24 : 2 = 120 (см2)
№ 4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а сумма диагоналей – 70 см. ОТВЕТ: 600 см2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: x2 + (35 – x)2 = 625
x = 20 или х = 15
площадь равна половине произведения диагоналей
S1 = 40 • 30 : 2 = 600 (см2); S2 = 30 • 40 : 3 = 600 (см2)
№ 5. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 8√3 см, а острый угол – 60°. Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность. ОТВЕТ: 96 + 64√3 см2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: Площадь трапеции – это полусумма оснований на высоту.
S =1/2 • (BC + AD) • h
Высота известна: так как трапеция прямоугольная, меньшая боковая сторона перпендикулярна основаниям h = AB = 8√3.
Трапеция описанная. В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны BC + AD = AB + CD.
Найдем CD. Опустим высоту CH и рассмотрим треугольник CDH.
∠HСD = 90°– 60° = 30°
Катет против угла 30° равен половине гипотенузы, HD = CD/2
Пусть HD = x, CD = 2x, тогда по т.Пифагора
CH = √[CD2 – HD2] = x • √[4 – 1] = x√3.
CH/CD = √3/2 => CD = 8√3 : √3/2 =16
Таким образом S = 1/2 • (8√3 + 16) • 8√3 = 96 + 64√3 (см2)
№ 6. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 5 см и 13 см. Найдите площадь треугольника. ОТВЕТ: 67,5 см2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: Обозначим a, b – катеты, с – гипотенуза, тогда S = 1/2 • ab.
Один катет нам известен: b = 5 + 13 = 18 (см).
Вспомним свойство биссектрисы: Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам,
т.е. а/5 = с/13, отсюда с = 13а/5.
Воспользуемся т. Пифагора (13а/5)2 = 182 + а2
(169а2)/25 – а2 = 182
(144а2)/25 = 324
(4а2)/25 = 9
4а2 = 225
а2 = 56,25 => a = 7,5
S = 1/2 • ab = 1/2 • 7,5 • 18 = 67,5 (см2)
ОТВЕТЫ на Вариант 4
№ 1. Чему равна сумма углов выпуклого двадцатисемиугольника? ОТВЕТ: 4500°. Решение: Σ = 180° (n–2) = 180° (27–2) = 4500°.
№ 2. Площадь параллелограмма равна 108 см2, а одна из его сторон – 18 см. Найдите высоту параллелограмма, проведённую к этой стороне. ОТВЕТ: 6 см. Решение: Для нахождения высоты параллелограмма, проведённой к стороне, необходимо разделить площадь параллелограмма на длину этой стороны.
S = ah => h = S/a = 108 : 18 = 6 (см).
№ 3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, высота которого, проведённая к основанию, равна 12 см, а боковая сторона – 37 см. ОТВЕТ: 420 см2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: ΔАВС, АВ = ВС = 37 см, ВН – высота к основанию АС, ВН = 12 см.
Найти: SАВС – ? Решение: 1) НС2 = ВС2 – ВН2 = 372 – 122.
НС = √[372 – 122] = √[1369 – 144] = 35 (см);
2) В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. Следовательно, ΔАВН = ΔВНС (по 1–му признаку). AC = АН + НС = 2НС = 70 (см)
3) SАВС = 1/2 • АС • ВН = 1/2 • 70 • 12 = 420 (см2)
№ 4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 17 см, а разность диагоналей – 14 см. ОТВЕТ: 240 см2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Решение: Стороны ромба равны, диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим половины диагоналей х и у.
Если 2у – 2х = 14, то у – х = 7.
Из прямоугольного треугольника АОВ по теореме Пифагора: АВ2 = АО2 + ВО2.
Получаем систему уравнений: у – х = 7 и у2 + х2 = 289.
Возведем обе части первого уравнения в квадрат: у2 + х2 – 2ху = 49
Подставим значение суммы квадратов из второго уравнения: 289 – 2ху = 49.
2ху = 289 – 49
2ху = 240
SABCD = 1/2 • АС • BD = 1/2 • 2х • 2у = 2ху = 240 (см2)
№ 5. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10√3 см, а острый угол – 30°. Найдите площадь этой трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.
ОТВЕТ: 150 см2.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 6. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 10 см и 30 см. Найдите площадь треугольника.
ОТВЕТ: 240 см2.
Вы смотрели: Геометрия 8 Контрольная 6 (Мерзляк) + Ответы. Контрольная работа по геометрии в 8 классе по теме учебника «Многоугольники. Площадь многоугольника» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов. Дидактические материалы для учителей, родителей и учащихся.
