Контрольная работа по геометрии 8 класс с ответами «Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников» (варианты 3-4 из 4-х) для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах. Код материалов: Геометрия 8 Контрольная 5 В34 (Мерзляк) + Ответы.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 8 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 5
Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников
КР-5 Варианты 3-4 (задания)
Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-5 Варианты 1-2
Справочный материал для решения задач
Ещё 2 варианта контрольной № 5 (с ответами)
Ответы на контрольную № 5
Решения и ОТВЕТЫ на Вариант 3
№ 1. В треугольнике ABC ∠C = 90°, AB = 26 см, BC = 10 см. Найдите: 1) sin A; 2) tg B.
ОТВЕТ: 1) sin A = 5/13 ≈ 0,3846; 2) tg B = 2,4.
№ 2. Найдите катет BC прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°), если AC = 12 см, cos C = 2/3.
ОТВЕТ: ВС = 8 см.
№ 3. Найдите значение выражения sin2 61° + cos2 61° – cos2 60°.
ОТВЕТ: 3/4.
№ 4. В равнобокой трапеции FKPE FK = EP = 9 см, FE = 20 см, KP = 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла F трапеции.
ОТВЕТ: sin F = √5/3; cos F = 2/3; tg F = √5/2, ctg F = 2√5/5.
№ 5. Высота AM треугольника ABC делит его сторону BC на отрезки BM и MC. Найдите отрезок MC, если AB = 10√2 см, AC = 26 см, ∠B = 45°.
ОТВЕТ: 24 см.
№ 6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между большим основанием и боковой стороной равен α. Найдите высоту трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен R.
ОТВЕТ: h = 2R • Sin α • Cos α или h = R • Sin 2α.
Примечание: возможны и другие варианты решений, в том числе и через тангенс угла α.
Решение: 1) построим высоту h (CН), из условия следует: ∠ACD = 90°, ∠AHC = 90°, ∠CHD = 90°;
2) так как △ACD прямоугольный, то центр описанной около равнобокой трапеции окружности лежит на середине большего основания, так как вписанный угол ACD опирается на диаметр. => AD = 2R.
3) ∠АDС = α (из условия), тогда в прямоугольном △АСD Sin α = d/2R (отношение противолежащего катета d к гипотенузе AD = 2R). => d = 2R • Sin α. (1)
4) Высота СН делит прямоугольный △АСD на подобные треугольники АСН и CDH (см. Теорему о высоте прямоугольного треугольника) => ∠ACH = ∠CDH = α. Тогда в прямоугольном △АСН Cos α = h/d (отношение прилежащего катета h к гипотенузе d). => h = d • Cos α (2).
5) подставим (1) в (2): h = 2R • Sin α • Cos α. Так как Sin α • Cos α = 1/2 • Sin 2α, то h = R • Sin 2α.
ОТВЕТ: h = 2R • Sin α • Cos α или h = R • Sin 2α.
Решения и ОТВЕТЫ на Вариант 4
№ 1. В треугольнике ABC ∠A = 90°, BC = 25 см, AC = 15 см. Найдите: 1) cos C; 2) ctg B.
ОТВЕТ: 1) cos C = 3/5 ≈ 0,6; 2) ctg B = 1 1/3 ≈ 1,33.
№ 2. Найдите катет BC прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°), если AC = 8 см, tg A = 1/4.
ОТВЕТ: 2 см.
№ 3. Найдите значение выражения cos2 42° + sin2 42° + sin2 30°.
ОТВЕТ: 1 1/4.
№ 4. В прямоугольной трапеции KDMT (DM || KT, ∠D = 90°) DM = 6 см, KT = 21 см, MT = 20 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла T трапеции.
ОТВЕТ: sin T = √7/4; cos T = 3/4; tg T = √7/3, ctg T = 3√7/7.
№ 5. Высота NE треугольника FNP делит его сторону FP на отрезки FE и PE. Найдите сторону NF, если EP = 8 см, NP = 17 см, ∠F = 60°.
Решение:
NE по теореме Пифагора: NE2 = NP2 – EP2 = 172 – 82 = 225
∠FNE = 180° – ∠NFP — ∠FEN = 180° – 60° – 90° = 30°
NF2 = FE2 + NE2
FE = NF / 2 (так как ∠FNE равен 30°)
NF2 = (NF / 2)2 + 225 = NF2 / 4 + 225
3 • NF2 / 4 = 225
NF2 = 225 * 4 : 3 = 300
NF = √300 = 10√3
ОТВЕТ: 10√3 см.
№ 6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между боковой стороной и высотой трапеции равен α. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её высота равна h.
ОТВЕТ: R = h • (tg α + ctg α ) / 2.
Примечание: возможны и другие варианты решений, в том числе и через синус угла α. Тогда ответ будет: R = h / Sin 2α.
Дано: трапеция ABCD, ∠ABD = 90°, ∠BHD = 90°, ∠DBH = α, BH = h.
Решение: ∠A = 180° – ∠ABD – ∠BDA = 180° – 90° – ∠BDA = 90° – ∠BDA;
∠DBH = 180° – ∠BHD – ∠ BDA = 180° – 90° – ∠ BDA = 90° – ∠BDA. Следовательно, ∠A = ∠DBH.
△BHD: tg α = HD/BH => HD = h • tg α
△AHB: ctg α = AH/BH => AH = h • ctg α
AD = AH + HD = h • (tg α + ctg α )
Трапеция ABCD — равнобедренная, следовательно ее можно вписать в окружность. Угол ABD — прямой, следовательно опирается на диаметр окружности (AD), описанной около треугольника ABD и трапеции ABCD.
R = AD / 2 = (h • (tg α + ctg α )) / 2.
ОТВЕТ: R = h • (tg α + ctg α ) / 2.
Примечание: для проверки правильности решения задачи № 6 во всех 4-х вариантах можете использовать следующий реальный пример: d = 4; AD = 5; боковая сторона = 3; h = 2,4; R = 2,5; α = 53,1°; Sin α = 0,8; Cos α = 0,6; Tg α = 1,33; Ctg α = 0,75.
Теорема о высоте прямоугольного треугольника:
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-5 Варианты 1-2
Вы смотрели: Геометрия 8 Контрольная 5 В34 (Мерзляк) + Ответы. Контрольная работа по геометрии в 8 классе по теме «Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)