9 класс Страница 235, задания 947-952. Задания, решения и ответы по учебнику геометрии 7-9 классы УМК Атанасян с 2023 года. Код материалов: Геометрия 7 8 9 Страница 235-2.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Геометрия УМК Атанасян
Страница 235 (№№ 947-952)
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ТЕКСТ
Задача 947
Условие: Дан произвольный четырёхугольник MNPQ. Докажите, что: а) MN + NQ = MP + PQ; б) MN + NP = MQ + QP.
Решение:
а) Левая часть: $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NQ} = \overrightarrow{MQ}$ (по правилу треугольника).
Правая часть: $\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{MQ}$ (по правилу треугольника).
Значит, $\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{MQ}$ — равенство верно.
б) Левая часть: $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}$.
Правая часть: $\overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{QP} = \overrightarrow{MP}$ (так как $\overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ}$, но по цепочке $\overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{QP} = \overrightarrow{MP}$).
Значит, $\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MP}$ — равенство верно.
Ответ: равенства доказаны.
Задача 948
Решение:
1. Рассмотрим векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ как стороны треугольника (они неколлинеарны, значит, образуют треугольник).
2. Третья сторона — вектор $\vec{x} + \vec{y}$.
3. По неравенству треугольника: длина одной стороны меньше суммы длин двух других.
4. Значит, $|\vec{x} + \vec{y}| < |\vec{x}| + |\vec{y}|$.
Ответ: неравенство доказано.
Задача 949
Решение:
1. Сложим векторы по цепочке: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
2. Далее: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$.
3. И наконец: $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$.
Ответ: сумма векторов равна $\vec{0}$.
Задача 950
Решение:
а) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, значит, $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AC}| = a$.
б) $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$: угол между векторами $60^\circ$, по теореме косинусов: $\sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos 60^\circ} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
в) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{AB} \mathbin{-} \overrightarrow{BC}$. Но проще: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC}$, значит, модуль равен $a$.
г) $\overrightarrow{BA} \mathbin{-} \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{CA}$, значит, модуль равен $a$.
д) $\overrightarrow{AB} \mathbin{-} \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$, значит, модуль равен $a$.
Ответ: а) $a$; б) $a\sqrt{3}$; в) $a$; г) $a$; д) $a$.
Задача 951
Решение:
а) $|\overrightarrow{BA}| = 6$, $|\overrightarrow{BC}| = 8$, значит, $|\overrightarrow{BA}| \mathbin{-} |\overrightarrow{BC}| = 6 \mathbin{-} 8 = -2$.
$|\overrightarrow{BA} \mathbin{-} \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{CA}|$: по теореме Пифагора $AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.
б) $|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| = 6 + 8 = 14$.
$|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AC}| = 10$.
в) $|\overrightarrow{BA}| + |\overrightarrow{BC}| = 6 + 8 = 14$.
$|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BD}|$, где $BD$ — диагональ прямоугольника (если достроить), но проще: это гипотенуза треугольника с катетами $6$ и $8$, то есть $10$.
г) $|\overrightarrow{AB}| \mathbin{-} |\overrightarrow{BC}| = 6 \mathbin{-} 8 = -2$.
$|\overrightarrow{AB} \mathbin{-} \overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}| = |\overrightarrow{AD}|$, где $AD$ — вектор, равный по модулю $10$ (аналогично пункту а).
Ответ: а) $-2$ и $10$; б) $14$ и $10$; в) $14$ и $10$; г) $-2$ и $10$.
Задача 952
Решение:
а) $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \mathbin{-} \overrightarrow{MC}) + (\overrightarrow{MD} \mathbin{-} \overrightarrow{KD}) = \overrightarrow{AC} \mathbin{-} \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \mathbin{-} \overrightarrow{KD}$.
Упрощаем: $\overrightarrow{AC} + (\overrightarrow{MD} \mathbin{-} \overrightarrow{MC}) \mathbin{-} \overrightarrow{KD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} \mathbin{-} \overrightarrow{KD} = \overrightarrow{AD} \mathbin{-} \overrightarrow{KD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DK} = \overrightarrow{AK}$.
б) $(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) \mathbin{-} (\overrightarrow{MK} + \overrightarrow{KD}) = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}) \mathbin{-} \overrightarrow{MD} =$
$= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} \mathbin{-} \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{AD} \mathbin{-} \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AM}$.
Ответ: а) $\overrightarrow{AK}$; б) $\overrightarrow{AM}$.
Вы смотрели: Задания, решения и ответы по геометрии 7-9 классы УМК Атанасян с 2023 года. Код материалов: Геометрия 7 8 9 Страница 235-2.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
