8 класс Страница 126-127, задания 471-475. Задания, решения и ответы по учебнику геометрии 7-9 классы УМК Атанасян с 2023 года. Код материалов: Геометрия 7 8 9 Страница 126.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Геометрия УМК Атанасян
Страница 126-127 (№№ 471-475)
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ТЕКСТ
Задача 471
Условие: Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: a) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB || CD, ∠A = ∠C.
а) Дано: $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$.
$\angle BAC = \angle ACD$ — накрест лежащие при $AB$ и $CD$ и секущей $AC$, значит, $AB \parallel CD$.
$\angle BCA = \angle DAC$ — накрест лежащие при $BC$ и $AD$ и секущей $AC$, значит, $BC \parallel AD$.
Четырёхугольник с попарно параллельными сторонами — параллелограмм.
б) Дано: $AB \parallel CD$, $\angle A = \angle C$.
Так как $AB \parallel CD$, то $\angle A + \angle D = 180^\circ$ и $\angle B + \angle C = 180^\circ$.
Из $\angle A = \angle C$ следует, что $\angle D = 180^\circ \mathbin{-} \angle A = 180^\circ \mathbin{-} \angle C = \angle B$.
Равенство противоположных углов и параллельность одной пары сторон влечёт параллельность второй пары: $AD \parallel BC$.
Значит, $ABCD$ — параллелограмм.
Задача 472
Условие: Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если:
a) одна сторона на 3 см больше другой;
б) разность двух сторон равна 7 см;
в) одна из сторон в 2 раза больше другой.
Периметр $P = 2(a + b) = 48\ \text{см}$, значит, $a + b = 24\ \text{см}$.
а) Пусть $a = b + 3$. Тогда $(b + 3) + b = 24 \Rightarrow 2b = 21 \Rightarrow b = 10,5\ \text{см}$, $a = 13,5\ \text{см}$.
б) Пусть $a \mathbin{-} b = 7$. Тогда $a = b + 7$. Подставляем: $(b + 7) + b = 24 \Rightarrow 2b = 17 \Rightarrow b = 8,5\ \text{см}$, $a = 15,5\ \text{см}$.
в) Пусть $a = 2b$. Тогда $2b + b = 24 \Rightarrow 3b = 24 \Rightarrow b = 8\ \text{см}$, $a = 16\ \text{см}$.
Ответ: а) $13,5\ \text{см}$ и $10,5\ \text{см}$; б) $15,5\ \text{см}$ и $8,5\ \text{см}$; в) $16\ \text{см}$ и $8\ \text{см}$.
Задача 473
Условие: Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ∠C= 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.
$P = 50\ \text{см} \Rightarrow a + b = 25\ \text{см}$. Пусть $a = AD = BC$, $b = AB = CD$.
$\angle C = 30^\circ$, $BH \perp CD$, $BH = 6,5\ \text{см}$.
В прямоугольном $\triangle BHC$: $\angle C = 30^\circ$, катет $BH = 6,5\ \text{см}$ лежит против него, значит, гипотенуза $BC = 2 \cdot BH = 13\ \text{см}$.
Тогда $BC = AD = 13\ \text{см}$.
$CD = AB = 25 \mathbin{-} 13 = 12\ \text{см}$.
Ответ: $13\ \text{см}$ и $12\ \text{см}$.
Задача 474
Условие: Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см, КС = 9 см.
$AK$ — биссектриса $\angle A$, $K \in BC$. $BK = 15\ \text{см}$, $KC = 9\ \text{см}$.
$BC = BK + KC = 24\ \text{см}$.
$AD \parallel BC$, $AK$ — секущая, значит, $\angle DAK = \angle AKB$ (накрест лежащие).
$\angle DAK = \angle BAK$ (биссектриса), значит, $\angle BAK = \angle AKB$.
$\triangle ABK$ — равнобедренный: $AB = BK = 15\ \text{см}$.
Периметр $P = 2(AB + BC) = 2(15 + 24) = 78\ \text{см}$.
Ответ: $78\ \text{см}$.
Задача 475
Условие: Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.
Биссектриса угла делит сторону на отрезки $7\ \text{см}$ и $14\ \text{см}$. Длина стороны: $7 + 14 = 21\ \text{см}$.
Пусть биссектриса отсекает на стороне равнобедренный треугольник (как в задаче 474). Возможны два случая.
Случай 1: боковая сторона равна меньшему отрезку: $a = 7\ \text{см}$, $b = 21\ \text{см}$.
Случай 2: боковая сторона равна большему отрезку: $a = 14\ \text{см}$, $b = 21\ \text{см}$.
В обоих случаях периметр $P = 2(a + b)$.
1) $P = 2(7 + 21) = 56\ \text{см}$.
2) $P = 2(14 + 21) = 70\ \text{см}$.
Ответ: $56\ \text{см}$ или $70\ \text{см}$.
Вы смотрели: Задания, решения и ответы по геометрии 7-9 классы УМК Атанасян с 2023 года. Код материалов: Геометрия 7 8 9 Страница 126.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
