Геометрия 7 Контрольная 5 (Мерзляк)

Геометрия 7 Контрольная 5 (Мерзляк) в 4-х вариантах. Итоговая контрольная работа по геометрии в 7 классе с ответами «Обобщение и систематизация знаний учащихся» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир.

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 7 класс (УМК Мерзляк)
Итоговая контрольная работа

Обобщение и систематизация знаний учащихся

K-5 Варианты 1, 2 (задания)

K-5 Варианты 3, 4 (задания)

 

Ответы на итоговую контрольную

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. В треугольнике CDE известно, что ∠C = 28°, ∠E = 72°. Укажите верное неравенство: 1) DE > CD; 2) CD > CE; 3) CE > DE; 4) DE > CE.
Рассуждение: Cумма углов треугольника 180° ⇒ ∠D = 180 ° – 28 ° – 72 ° = 80 °. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона ⇒ Верно в варианте 3) СE > DE
ОТВЕТ: 3).

№ 2. Докажите, что AC = BD (рис. 70), если AD = BC и ∠DAB = ∠CBA.
Доказательство: Рассмотрим ΔDAB и ΔCBA:
AD = BC и ∠DAB = ∠CBA по условию ; AB — общая сторона.
Получается, что ΔDAB = ΔCBA по двум сторонам и углу между ними (1–й признак равенства Δ) ⇒ AC = BD, как соответственные стороны равных треугольников (лежат напротив равных углов). Доказано.

№ 3. В треугольнике ABC известно, что ∠A = 70°, ∠B = 50°. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M. Найдите угол AMC.
Решение: Биссектриса делит угол А пополам ⇒ ∠МАС = 35°.
∠C = 180° – (70° + 50°) = 60°.
∠АМС = 180° – (35° + 60°) = 85°
ОТВЕТ: ∠АМС = 85°.

№ 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 2:7, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 110 см.
Решение: Примем коэффициент пропорциональности отрезков, на которые боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности, за х, а основание — за у.
Тогда периметр треугольника равен 2•(2х + 7х) + у = 110.
По свойству точки касания 2х = у/2 или у = 4х (так как треугольник равнобедренный).
Подставим эту зависимость в первое уравнение.
2 • 9х + 4х = 110
22х = 110
х = 110/22 = 5.
Отсюда находим стороны треугольника:
— боковые стороны равны 2 • 5+7 • 5 = 10 + 35 = 45 (см)
— основание равно 110 – 2 • 45 = 110 – 90 = 20 (см)

ОТВЕТ: 45 см, 45 см, 20 см.

№ 5. Точка O — середина биссектрисы AM треугольника ABC. На стороне AC отмечена точка D такая, что DO ⊥ AM. Докажите, что DM || AB.
Решение и ОТВЕТ: (см. рис.)

---

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. В треугольнике CDE известно, что ∠C = 55°, ∠D = 110°. Укажите верное неравенство: 1) CE < CD; 2) CE < DE; 3) DE < CD; 4) CD < DE.
Рассуждение. Cумма углов треугольника 180° ⇒ ∠E = 180° – 55° – 110° = 15°. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона ⇒ верно 4) CD < DE, так как ∠E < ∠C.
ОТВЕТ: 4).

№ 2. Докажите, что ∠ACB = ∠BDA (рис. 71), если AD = BC и ∠BAD = ∠ABC.
Доказательство: Так как 1) AD = BC по условию, 2) ∠BAD = ∠ABC по условию, 3) АВ – общая сторона, то △ADB = △ABC по 1–му признаку рав.треуг. Следовательно, ∠ACB = ∠BDA. Доказано.

№ 3. В треугольнике MNK известно, что ∠N = 50°. Биссектриса угла N пересекает сторону MK в точке F, ∠MFN = 74°. Найдите угол MKN.
Решение: ∠KFN = 180° – 74° = 106° (смежные)
∠KNF = 1/2 • 50° = 25° (так как NF – биссектриса)
∠MKN = 180° – 25° – 106° = 49° (сумма углов в треугольнике = 180°).
ОТВЕТ: 49°.

№ 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 4:5, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 104 см.
Решение: AM = AK = CN = CK = 4x (отрезки касательных), а BM = BN = 5x
P = AB + BC + AC = (AM + MB) + (BN + NC) + (AK + KC)  =>
104 = 9x + 9x + 8 x = 26x  =>  x = 4
AB = BC = 9x = 36 (см)
AC = 8x = 32 (см)
ОТВЕТ: 36 см, 36 см, 32 см.

№ 5. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точку M, а на стороне AB — точку K такие, что BK = KM и KM || BC. Докажите, что AM = MC.
Доказательство (вариант 1):
Проведем МN || АВ, получим параллелограмм КВNM => MN = ВК.

Рассмотрим ΔАКМ и ΔСNМ. В равнобедренном ΔАВС углы при основании АС равны. => ∠ВАМ = ∠ВСМ.
∠АКМ = ∠СNМ = ∠АВС – соответственные при параллельных прямых и секущей.
Если в треугольниках два угла равны, то равны и третьи углы => ∠КАМ = ∠NMC.
ΔАКМ = ΔСNM по второму признаку равенства треугольников. Соответствующие элементы равных треугольников равны => АМ = СМ, что и требовалось доказать.

Доказательство (вариант 2):

---

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. В треугольнике MNK известно, что ∠M = 35°, ∠N = 80°. Укажите верное неравенство: 1) MK < MN; 2) MN < MK; 3) MN < KN; 4) MK < KN.
Рассуждение: Cумма углов треугольника 180° ⇒ ∠K = 180° – 35° – 80° = 65°. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона ⇒ верно 2) MN < MK, так как ∠K < ∠N.
ОТВЕТ: 2).

№ 2. Докажите, что BD = NT (рис. 72), если KD = KT и ∠KDB = ∠KTN.
Доказательство: Так как 1) KD = KT по условию, 2) ∠KDB = ∠KTN по условию, 3) ∠К – общий, то △KDB = △KTN по 2–му признаку рав.треуг. Следовательно, BD = NT. Доказано.

№ 3. В треугольнике DFC известно, что ∠C = 62°. Биссектриса угла F пересекает сторону DC в точке K, ∠FKD = 100°. Найдите угол DFC.
Решение: ∠FKC = 180° – 100° = 80° (смежные)
∠KFC = 180° – 80° – 62° = 38° (сумма углов в треугольнике = 180°)
∠DFC = 2 • 38° = 76° (FK – биссектриса)
ОТВЕТ: 76°.

№ 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 5:2, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 72 см.
Решение: AM = AK = CN = CK = 5x (отрезки касательных), а BM = BN = 2x
P = AB + BC + AC = (AM + MB) + (BN + NC) + (AK + KC)  =>
72 = 7x + 7x + 10x = 24x  =>  x = 3
AB = BC = 7x = 21 (см)
AC = 10x = 30 (см)
ОТВЕТ: 21 см, 21 см, 30 см.

№ 5. В треугольнике ABC известно, что AB = AC, отрезок AE — высота. На стороне AC отметили точку F такую, что FE = AF. Докажите, что EF || AB.

Доказательство: Так как AB = AC, то △АВС равнобедренный. Следовательно, и углы при основании ВС равны (∠В = ∠С). Высота АЕ – это медиана и биссектриса (из свойства равнобедренного треугольника), а значит ∠ВАЕ = ∠ЕАС. По условию задачи ЕF = AF, следовательно, △АFE равнобедренный (т.к. это боковые стороны). Значит и ∠АЕF = ∠FAE, а ∠FAE = ∠EAB (так как АЕ – биссектриса). Отсюда следует, что и ∠FEA = ∠EAB, а это накрест лежащие углы при секущей АЕ и они равны. Следовательно, по признаку параллельности прямых EF||AB.

---

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. В треугольнике ABC известно, что ∠B = 70°, ∠C = 36°. Укажите верное неравенство: 1) AC > BC; 2) AB > BC; 3) AC > AB; 4) AB > AC.
Рассуждение. Cумма углов треугольника 180° ⇒ ∠A = 180° – 70° – 36° = 74°. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона ⇒ верно 3) AC > AB, так как ∠B > ∠C.
ОТВЕТ: 3).

№ 2. Докажите, что AB = CD (рис. 73), если AD = BC и ∠DAC = ∠BCA.
Доказательство: Так как 1) AD = BC по условию, 2) ∠DAC = ∠BCA по условию, 3) AC – общая сторона, то △ADC = △ABC по 1–му признаку рав.треуг. Следовательно, AB = CD. Доказано.

№ 3. В треугольнике DBC известно, что ∠D = 40°, ∠B = 74°. Биссектриса угла C пересекает сторону BD в точке N. Найдите угол CNB.
Решение: ∠С = 180° – 40° – 74° = 66° (сумма углов в треугольнике = 180°)
∠BCN = ∠DCN = ∠C : 2 = 33° (так как CN – биссектриса)
∠CNB = 180° – 74° – 33° = 73°
ОТВЕТ: 73°.

№ 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 8:3, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 76 см.
Решение: AM = AK = CN = CK = 8x (отрезки касательных), а BM = BN = 3x
P = AB + BC + AC = (AM + MB) + (BN + NC) + (AK + KC)  =>
76 = 11x + 11x + 16x = 38x  =>  x = 2
AB = BC = 11x = 22 (см)
AC = 16x = 32 (см).
ОТВЕТ: 22 см, 22 см, 32 см.

№ 5. На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что BM = CM. Отрезок MK — биссектриса треугольника AMC. Докажите, что MK || BС.
Доказательство. Так как BM = CM, то △СBM равнобедренный. Следовательно, и углы при основании ВС равны (∠В = ∠С).
По условию МК — биссектриса △AMC. По определению биссектрисы ∠AMK = ∠KMC = 1/2 ∠AMC. Пусть ∠AMK = ∠KMC = х, тогда ∠AMC = 2х.
∠AMC и ∠CMB — смежные. По теореме о смежных углы имеем: ∠CMB = 180 ° – 2х. По условию СМ = MB, значит ΔСМВ – равнобедренный. По свойству углов равнобедренного треугольника имеем: ∠В = ∠С = (180 ° – ∠CMB) : 2 = (180 ° – (180° – 2х) : 2 = (2х) : 2 = х. Итак, ∠AMK = ∠B. Значит, ∠AMK и ∠В  соответствующие при секущей АВ. По признаку параллельности прямых имеем МК ‖ ВС. Доказано.

 

---

Вы смотрели: Геометрия 7 Контрольная 5 (Мерзляк). Итоговая контрольная работа по геометрии в 7 классе «Обобщение и систематизация знаний учащихся» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов.

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Еще 2 варианта контрольной № 5 (с ответами)

 

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 7 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.