Геометрия 7 Контрольная 4 (Мерзляк)

Геометрия 7 Контрольная 4 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 7 классе «Окружность и круг. Геометрические построения» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов. Ответы на все варианты.

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 7 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 4

По теме: Окружность и круг. Геометрические построения

К-4 Варианты 1, 2 (задания)

К-4 Варианты 3, 4 (задания)

 

Ответы на контрольную № 4

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. На рисунке 62 точка O — центр окружности, ∠ABC = 28°. Найдите угол AOC.

Дано: w(О; r); ∠ABC = 50°
Найти: ∠AOC – ?
Решение: 1) CO = OB = r  ⇒ ΔOCB – равнобедренный ⇒ ∠B = ∠C = ∠ABC = 28°.
2) ∠BOC = 180° – (∠B + ∠C) = 180° – (28° + 28°) = 124°.
3) ∠COA и ∠BOC – смежные ⇒ ∠AOC = 180° – ∠BOC = 180° – 124° = 56°.
ОТВЕТ: 56°.

№ 2. К окружности с центром O проведена касательная CD (D — точка касания). Найдите отрезок OC, если радиус окружности равен 6 см и ∠DCO = 30°.
Решение:
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, то есть: OD ⊥ CD.

OD = 6 см по условию. Из прямоугольного треугольника ODC найдем гипотенузу ОС. Против угла 30° катет в два раза меньше гипотенузы, то есть: OC = 2*OD = 2*6 = 12 (см).
ОТВЕТ: 12 см.

№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что ∠BAC = ∠BAD (рис. 63). Докажите, что AC = AD.

Доказательство: Соединим точки D и С с центром окружности получим треугольники DОА и СОА — они равнобедренные ( стороны радиус окружности).
В равнобедренном треугольники углы при основании равны, так как два угла одного равны двум углам другого (из условия) значит равны и третьи углы.
Треугольники равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Следовательно АD = АС.

№ 4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к ней.
Решение:
От произвольной точки В проведите медиану BD. Затем постройте к ней перпендикулярную прямую, проходящую через точку D. Из точки В проведите окружность радиусом равным гипотенузе. Соедините точки пересечения окружности с перпендикуляром к BD с точкой В.

№ 5. Даны окружность и две точки вне её. Найдите на окружности точку, равноудалённую от этих двух точек. Сколько решений может иметь задача?
Построение:
Нужно построить серединный перпендикуляр для отрезка с концами в этих двух точках, т.к. серединный перпендикуляр — это множество точек, равноудаленных от концов отрезка. Точки пересечения серединного перпендикуляра с окружностью и будут решением задачи.
Решений может быть два или не быть вообще или одно решение — т.к. прямая с окружностью может пересекаться или в двух точках или в одной точке (касательная) или не пересекаться.


ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. На рисунке 64 точка O — центр окружности, ∠MON = 68°. Найдите угол MKN.
Решение: 1) ∠MON и ∠NOK – смежные => ∠NOK = 180° – ∠MON = 180° – 68° = 112°.
1) OK = ON = r  =>  ΔKON – равнобедренный => ∠K = ∠N.
2) ∠K + ∠N + ∠NOK = 180°. Следовательно, ∠MKN = (180° – 112°) : 2 = 34°.
ОТВЕТ: ∠MKN = 34°.

№ 2. К окружности с центром O проведена касательная AB (A — точка касания). Найдите радиус окружности, если OB = 10 см и ∠ABO = 30°.
Дано: окружность (0; r); АВ — касательная (А — точка касания); ОВ = 10 см; ∠АВО = 30°.
Найти: r — ?
Решение:
Проведем радиус ОА в точку касания. По теореме касательной ОА ⊥ АВ, значит треугольник ОАВ – прямоугольный. Тогда ОА – катет, лежащий против ∠АВО = 30°. Значит, r = ОА = 1/2 ОВ = 10 / 2 = 5 (см).
ОТВЕТ: 5 см.

№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF = NK (рис. 65). Докажите, что ∠MNK = ∠MNF.
Доказательство: Соединим точки K и F с центром окружности и получим треугольники KОN и FОN. Так как 1) КО = ОF как радиусы одной окружности, 2) КN = NF по условию, 3) ON – общая сторона, то △KON = △FON по трем сторонам (3–й признак рав.треуг.) Следовательно, ∠MNK = ∠MNF.

№ 4. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них.
Построение: 1) Пусть даны отрезки a и b равные сторонам треугольника (a отрезок m равный медиане, проведенной к стороне длиной a.
2) На произвольной прямой отметим отрезкок BC длины a;
3) Отметим середину отрезка BC, для чего:
— Из точек B и C проведем окружности с радиусом a:
— Проведем прямую через точки пересечения этих окружностей;
— На пересечении этой прямой и отрезка BC отметим точку M;
4) Точка M середина BC, так как она является пересечением этого отрезка и проведенного к нему серединного перпендикуляра;
5) Из точки M проведем окружность радиуса m, а из точки C окружность радиуса В, отметим на их пересечении точку А;
6) треугольник построен.

№ 5. Даны прямая и две точки вне её. Найдите на этой прямой точку, равноудалённую от этих двух точек. Сколько решений может иметь задача?
ОТВЕТ:
Множество точек равноудаленных от двух данных точек – это серединный перпендикуляр. Данная прямая может:
1) пересекать серединный перпендикуляр – тогда существует единственное решение (точка),
2) совпадать с ним — бесконечное множество решений,
3) быть параллельной ему – нет решений.


ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. На рисунке 66 точка O — центр окружности, ∠OAD = 34°. Найдите угол FOA.
Дано: w(О; r); ∠ OAD = 34°.
Найти: ∠ FOA – ?
Решение: 1) AO = OD = r  ⇒ ΔOAD – равнобедренный ⇒ ∠A = ∠D = ∠OAD = 34°.
2) ∠AOD = 180° – (∠A + ∠D) = 180° – (34° + 34°) = 112°.
3) ∠FOA и ∠AOD – смежные ⇒ ∠FOA = 180° – ∠AOD = 180° – 112° = 68°.
ОТВЕТ: 68°.

№ 2. К окружности с центром O проведена касательная MN (M — точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 12 см и ∠NOM = 30°.
Решение: В треугольнике NMO угол М = 90°. (радиус ОМ перпендикулярен касательной NM). Угол NOM равен 30° по условию. Следовательно катет, лежащий напротив угла в 30 градусов в два раза меньше гипотенузы NO. Отсюда NM = 12 : 2 = 6 (см).
ОТВЕТ: 6 см.

№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр DK и хорды KA и KB так, что ∠OAK = ∠OBK (рис. 67). Докажите, что AK = BK.
Доказательство: Так как 1) ВО = ОА как радиусы одной окружности, 2) ∠OAK = ∠OBK по условию, 3) OК – общая сторона, то △KOВ = △КOА по двум сторонам  и углу между ними (1–й признак рав.треуг.) Следовательно, AK = BK.

№ 4. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведённой к нему.
Построение: Чертим на листочке прямую линию, равную по длине основанию. Ставим точки А и В. При помощи циркуля находим середину этого отрезка — раствором циркуля заведомо большим половины отрезка из двух концов отрезка чертим небольшие дуги. Из точки пересечения этих двух дуг опускаем перпендикуляр на основание при помощи угольника. Ведь медиана в равнобедренном треугольнике является также и высотой. Ставим точку Н на основании. Это середина основания. На этом перпендикуляре вверх от точки Н откладываем длину медианы. Ставим точку С. Соединяем точки А, В и С. Треугольник построен.

№ 5. Даны угол и окружность. Найдите на окружности точку, принадлежащую углу и равноудалённую от его сторон. Сколько решений может иметь задача?
Пояснение: В любой угол можно вписать окружность. Центр такой окружности лежит на биссектрисе угла, которая пересекает окружность в двух точках. Пусть окружность вписана в угол ВАС. К и М — точки пересечения окружности биссектрисой. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон (теорема), следовательно, К и М равноудалены от АВ и АС.
ОТВЕТ: 2 решения.


ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. На рисунке 68 точка O — центр окружности, ∠BOC = 40°. Найдите угол OBD.
Решение: 1) ∠ BOC и ∠DOB – смежные => ∠DOB = 180° – ∠BOC = 180° – 40° = 140°.
1) OB = OD = r  =>  ΔDOB – равнобедренный => ∠ODB = ∠OBD.
2) ∠ODB + ∠OBD + ∠DOB = 180°. Следовательно, ∠OBD = (180° – 140°) : 2 = 20°.
ОТВЕТ: 20°.

№ 2. К окружности с центром O проведена касательная FK (K — точка касания). Найдите отрезок FK, если радиус окружности равен 14 см и ∠FOK = 45°.
Решение: радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: ОК ⊥ FK  ⇒ ΔFOK – прямоугольный.
R = OK = 14 (см)
∠FOK = 45°  ⇒  ∠OFK = 90° – 45° = 45°  ⇒
ΔFOK – равнобедренный  ⇒  FK = OK = 14 (cм)
ОТВЕТ: 14 см.

№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр KB и хорды BC и BD так, что ∠BOC = ∠BOD (рис. 69). Докажите, что BC = BD.
Доказательство: Так как 1) DО = ОC как радиусы одной окружности, 2) ∠BOC = ∠BOD по условию, 3) OB – общая сторона, то △BOD = △BOC по двум сторонам и углу между ними (1–й признак рав.треуг.) Следовательно, BC = BD.

№ 4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, проведённой к ней.
Построение: 1) Пусть даны отрезок a, равный боковой стороне, и отрезок h, равный высоте треугольника, опущенной на основание.
2) На произвольной прямой отметим точку H;
3) Из точки H проведем окружность произвольного радиуса (на рисунке окружность зеленого цвета);
4) Из точек пересечения этой окружности и прямой проведем две окружности одинакового радиуса (на рисунке — серого цвета);
5) Через точки пересечения этих окружностей проведем вторую прямую, она перпендикулярна первой прямой;
6) Из точки H проведем окружность радиуса h (на рисунке — синего цвета) и отметим точку B на пересечении этой окружности и второй прямой;
7) Из точки B проведем окружность радиуса a (на рисунке — оранжевого цвета) и отметим точки A и C на пересечениях этой окружности и первой прямой;
8) Треугольник ABC построен.

№ 5. Даны угол и две точки. Найдите точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и равноудалённую от двух данных точек. Сколько решений может иметь задача?
ОТВЕТ:
Множество точек равноудаленных от сторон угла – его биссектриса. Множество точек равноудаленных от двух данных точек – это серединный перпендикуляр. На плоскости две прямые (биссектриса и серединный перпендикуляр) могут:
а) быть параллельными, тогда решений нет,
б) пересекаться, тогда существует единственная точка, удовлетворяющая условию,
в) совпадать, тогда решений бесконечно много.

 


Вы смотрели: Геометрия 7 Контрольная 4 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 7 классе «Окружность и круг. Геометрические построения» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах (ответов нет).

Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Еще 2 варианта контрольной № 4 (с ответами)

 

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 7 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Геометрия 7 Контрольная 4 (Мерзляк): 11 комментариев

  1. большое вам всем спасибо за ответы.Мне нравится этот сайт,а вам не знаю.

  2. на 1,2,варианты я ответы нашла,а на 3,4,найти не могу,выходят только сами кр, сайт 6/10

  3. Какой класс мне помогли ( если что это сарказм))):

    Вариант 4 в номере 4 это такой капец не фига не поняла надо было пошагово сделать здесь как будто вундеркинды сидят блин, зашли на сайт списывать, ну ей Бога, будьте умней

Добавить комментарий

На сайте используется ручная модерация. Срок проверки комментариев: от 1 часа до 3 дней