Геометрия 7 Контрольная 4 Мерзляк

Контрольная работа по геометрии с решениями в 7 классе «Окружность и круг. Геометрические построения» Варианты 1, 2 для УМК Мерзляк. Код материалов: Геометрия 7 Контрольная 4 Мерзляк + Ответы на все варианты.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 7 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 4

По теме: Окружность и круг. Геометрические построения

К-4 Варианты 1, 2 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть задания

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-3 Варианты 3-4

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. На рисунке 62 точка O — центр окружности, ∠ABC = 28°. Найдите угол AOC.

Дано: w(О; r); ∠ABC = 50°
Найти: ∠AOC – ?
Решение: 1) CO = OB = r  ⇒ ΔOCB – равнобедренный ⇒ ∠B = ∠C = ∠ABC = 28°.
2) ∠BOC = 180° – (∠B + ∠C) = 180° – (28° + 28°) = 124°.
3) ∠COA и ∠BOC – смежные ⇒ ∠AOC = 180° – ∠BOC = 180° – 124° = 56°.
ОТВЕТ: 56°.

№ 2. К окружности с центром O проведена касательная CD (D — точка касания). Найдите отрезок OC, если радиус окружности равен 6 см и ∠DCO = 30°.
ОТВЕТ: 12 см.
Решение: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, то есть: OD ⊥ CD.

OD = 6 см по условию. Из прямоугольного треугольника ODC найдем гипотенузу ОС. Против угла 30° катет в два раза меньше гипотенузы, то есть: OC = 2*OD = 2*6 = 12 (см).

№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что ∠BAC = ∠BAD (рис. 63). Докажите, что AC = AD.

Доказательство: 1) Соединим точки D и С с центром окружности получим треугольники DОА и СОА.
2) В △DОА: OD = OA, так как это радиусы окружности. Следовательно △DОА — равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит: ∠ODA = ∠OAD.
3) В △CОА: OC = OA, так как это радиусы окружности. Следовательно △CОА — равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит: ∠OCA = ∠OAC.
4) Так как ∠BAC это тот же угол OAC, а ∠BAD — это тот же угол OAD, а ∠BAC = ∠BAD по условию, то в треугольниках DОА и СОА: ∠ODA = ∠OAD = ∠OCA = ∠OAC.
5) Так как в треугольнике все углы равны 180°, то и третий угол в каждом из треугольников DОА и СОА — равны: ∠DOA = 180° — (∠ODA + ∠OAD) = ∠COA = 180° — (∠OCA + ∠OAC).

6) В результате мы выяснили, что в треугольниках DОА и СОА равны 2 стороны и 3 угла, что дает возможность нам применить:
► или 1-й признак равенства треугольников — СУС (сокращение СУС — это две стороны и угол между ними): OA — общая сторона обоих треугольников, OD = ОС, ∠DOA = ∠COA (угол между этими сторонами)
► или 2-й признак — УСУ (сокращение УСУ — это два угла и сторона между ними): OA — общая сторона обоих треугольников, ∠DOA = ∠COA и ∠OAD = ∠OAC.
Из равенства треугольников следует: АD = АС, чтд ■
Смотрите также в спойлере ниже вариант оформления решения.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к ней.
Решение: От произвольной точки В проведите медиану BD. Затем постройте к ней перпендикулярную прямую, проходящую через точку D. Из точки В проведите окружность радиусом равным гипотенузе. Соедините точки пересечения окружности с перпендикуляром к BD с точкой В.

№ 5. Даны окружность и две точки вне её. Найдите на окружности точку, равноудалённую от этих двух точек. Сколько решений может иметь задача?
ОТВЕТ: Может быть два или одно или ноль решений — т.к. прямая с окружностью может пересекаться или в двух точках (секущая), или в одной точке (касательная), или не пересекаться.
Построение: Пусть даны две точки $A$ и $B$ вне окружности (О; r). Нужно построить серединный перпендикуляр для отрезка с концами в этих двух точках, т.к. серединный перпендикуляр — это множество точек, равноудаленных от концов отрезка. Точки пересечения серединного перпендикуляра с окружностью и будут решением задачи. На рисунке ниже приведен случай с секущей C₁C₂, т.е. когда есть 2 решения. Примечание: две окружности вокруг точек А и В служат для построения серединного перпендикуляра отрезка АВ.

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. На рисунке 64 точка O — центр окружности, ∠MON = 68°. Найдите угол MKN.

ОТВЕТ: ∠MKN = 34°.
Решение: 1) ∠MON и ∠NOK – смежные => ∠NOK = 180° – ∠MON = 180° – 68° = 112°.
1) OK = ON = r  =>  ΔKON – равнобедренный => ∠K = ∠N.
2) ∠K + ∠N + ∠NOK = 180°. Следовательно, ∠MKN = (180° – 112°) : 2 = 34°.

№ 2. К окружности с центром O проведена касательная AB (A — точка касания). Найдите радиус окружности, если OB = 10 см и ∠ABO = 30°.
ОТВЕТ: 5 см.

Дано: окружность (0; r); АВ — касательная (А — точка касания); ОВ = 10 см; ∠АВО = 30°.
Найти: r — ?
Решение: Проведем радиус ОА в точку касания. По теореме касательной ОА ⊥ АВ, значит треугольник ОАВ – прямоугольный. Тогда ОА – катет, лежащий против ∠АВО = 30°. Значит, r = ОА = 1/2 ОВ = 10 / 2 = 5 (см).

№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF = NK (рис. 65). Докажите, что ∠MNK = ∠MNF.

Доказательство (кратко): Соединим точки K и F с центром окружности и получим треугольники KОN и FОN. Так как 1) КО = ОF как радиусы одной окружности, 2) КN = NF по условию, 3) ON – общая сторона, то △KON = △FON по трем сторонам (3–й признак рав.треуг.) Из равенства треугольников следует, что ∠ОNK = ∠ОNF. Так как ∠ОNK это и есть угол MNK, а ∠MNF это тот же угол ОNF, то мы доказали, что ∠MNK = ∠MNF, чтд.

№ 4. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них.
Построение: 1) Пусть даны отрезки a и b равные сторонам треугольника (a отрезок m равный медиане, проведенной к стороне длиной a.
2) На произвольной прямой отметим отрезкок BC длины a;
3) Отметим середину отрезка BC, для чего:
— Из точек B и C проведем окружности с радиусом a:
— Проведем прямую через точки пересечения этих окружностей;
— На пересечении этой прямой и отрезка BC отметим точку M;
4) Точка M середина BC, так как она является пересечением этого отрезка и проведенного к нему серединного перпендикуляра;
5) Из точки M проведем окружность радиуса m, а из точки C окружность радиуса В, отметим на их пересечении точку А;
6) треугольник построен.

№ 5. Даны прямая и две точки вне её. Найдите на этой прямой точку, равноудалённую от этих двух точек. Сколько решений может иметь задача?
ОТВЕТ: Множество точек равноудаленных от двух данных точек – это серединный перпендикуляр. Данная прямая может:
1) пересекать серединный перпендикуляр – тогда существует единственное решение (точка),
2) совпадать с ним — бесконечное множество решений,
3) быть параллельной ему – нет решений.

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-3 Варианты 3-4

Вы смотрели: Геометрия 7 Контрольная 4 Мерзляк Варианты 1-2. Контрольная работа по геометрии в 7 классе «Окружность и круг. Геометрические построения» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Еще 2 варианта контрольной № 4 (с ответами)

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 7 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.