Геометрия 7 Контрольная 4 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 7 классе «Окружность и круг. Геометрические построения» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантов. Ответы на все варианты.
Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 7 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 4
По теме: Окружность и круг. Геометрические построения
К-4 Варианты 1, 2 (задания)
К-4 Варианты 3, 4 (задания)
Ответы на контрольную № 4
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. На рисунке 62 точка O — центр окружности, ∠ABC = 28°. Найдите угол AOC.
Дано: w(О; r); ∠ABC = 50°
Найти: ∠AOC – ?
Решение: 1) CO = OB = r ⇒ ΔOCB – равнобедренный ⇒ ∠B = ∠C = ∠ABC = 28°.
2) ∠BOC = 180° – (∠B + ∠C) = 180° – (28° + 28°) = 124°.
3) ∠COA и ∠BOC – смежные ⇒ ∠AOC = 180° – ∠BOC = 180° – 124° = 56°.
ОТВЕТ: 56°.
№ 2. К окружности с центром O проведена касательная CD (D — точка касания). Найдите отрезок OC, если радиус окружности равен 6 см и ∠DCO = 30°.
Решение: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, то есть: OD ⊥ CD.
OD = 6 см по условию. Из прямоугольного треугольника ODC найдем гипотенузу ОС. Против угла 30° катет в два раза меньше гипотенузы, то есть: OC = 2*OD = 2*6 = 12 (см).
ОТВЕТ: 12 см.
№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что ∠BAC = ∠BAD (рис. 63). Докажите, что AC = AD.
Доказательство: Соединим точки D и С с центром окружности получим треугольники DОА и СОА — они равнобедренные ( стороны радиус окружности).
В равнобедренном треугольники углы при основании равны, так как два угла одного равны двум углам другого (из условия) значит равны и третьи углы.
Треугольники равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Следовательно АD = АС.
№ 4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к ней.
Решение: От произвольной точки В проведите медиану BD. Затем постройте к ней перпендикулярную прямую, проходящую через точку D. Из точки В проведите окружность радиусом равным гипотенузе. Соедините точки пересечения окружности с перпендикуляром к BD с точкой В.
№ 5. Даны окружность и две точки вне её. Найдите на окружности точку, равноудалённую от этих двух точек. Сколько решений может иметь задача?
Построение: Нужно построить серединный перпендикуляр для отрезка с концами в этих двух точках, т.к. серединный перпендикуляр — это множество точек, равноудаленных от концов отрезка. Точки пересечения серединного перпендикуляра с окружностью и будут решением задачи.
Решений может быть два или не быть вообще или одно решение — т.к. прямая с окружностью может пересекаться или в двух точках или в одной точке (касательная) или не пересекаться.
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. На рисунке 64 точка O — центр окружности, ∠MON = 68°. Найдите угол MKN.
Решение: 1) ∠MON и ∠NOK – смежные => ∠NOK = 180° – ∠MON = 180° – 68° = 112°.
1) OK = ON = r => ΔKON – равнобедренный => ∠K = ∠N.
2) ∠K + ∠N + ∠NOK = 180°. Следовательно, ∠MKN = (180° – 112°) : 2 = 34°.
ОТВЕТ: ∠MKN = 34°.
№ 2. К окружности с центром O проведена касательная AB (A — точка касания). Найдите радиус окружности, если OB = 10 см и ∠ABO = 30°.
Дано: окружность (0; r); АВ — касательная (А — точка касания); ОВ = 10 см; ∠АВО = 30°.
Найти: r — ?
Решение: Проведем радиус ОА в точку касания. По теореме касательной ОА ⊥ АВ, значит треугольник ОАВ – прямоугольный. Тогда ОА – катет, лежащий против ∠АВО = 30°. Значит, r = ОА = 1/2 ОВ = 10 / 2 = 5 (см).
ОТВЕТ: 5 см.
№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF = NK (рис. 65). Докажите, что ∠MNK = ∠MNF.
Доказательство: Соединим точки K и F с центром окружности и получим треугольники KОN и FОN. Так как 1) КО = ОF как радиусы одной окружности, 2) КN = NF по условию, 3) ON – общая сторона, то △KON = △FON по трем сторонам (3–й признак рав.треуг.) Следовательно, ∠MNK = ∠MNF.
№ 4. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них.
Построение: 1) Пусть даны отрезки a и b равные сторонам треугольника (a отрезок m равный медиане, проведенной к стороне длиной a.
2) На произвольной прямой отметим отрезкок BC длины a;
3) Отметим середину отрезка BC, для чего:
— Из точек B и C проведем окружности с радиусом a:
— Проведем прямую через точки пересечения этих окружностей;
— На пересечении этой прямой и отрезка BC отметим точку M;
4) Точка M середина BC, так как она является пересечением этого отрезка и проведенного к нему серединного перпендикуляра;
5) Из точки M проведем окружность радиуса m, а из точки C окружность радиуса В, отметим на их пересечении точку А;
6) треугольник построен.
№ 5. Даны прямая и две точки вне её. Найдите на этой прямой точку, равноудалённую от этих двух точек. Сколько решений может иметь задача?
ОТВЕТ: Множество точек равноудаленных от двух данных точек – это серединный перпендикуляр. Данная прямая может:
1) пересекать серединный перпендикуляр – тогда существует единственное решение (точка),
2) совпадать с ним — бесконечное множество решений,
3) быть параллельной ему – нет решений.
ОТВЕТЫ на Вариант 3
№ 1. На рисунке 66 точка O — центр окружности, ∠OAD = 34°. Найдите угол FOA.
Дано: w(О; r); ∠ OAD = 34°.
Найти: ∠ FOA – ?
Решение: 1) AO = OD = r ⇒ ΔOAD – равнобедренный ⇒ ∠A = ∠D = ∠OAD = 34°.
2) ∠AOD = 180° – (∠A + ∠D) = 180° – (34° + 34°) = 112°.
3) ∠FOA и ∠AOD – смежные ⇒ ∠FOA = 180° – ∠AOD = 180° – 112° = 68°.
ОТВЕТ: 68°.
№ 2. К окружности с центром O проведена касательная MN (M — точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 12 см и ∠NOM = 30°.
Решение: В треугольнике NMO угол М = 90°. (радиус ОМ перпендикулярен касательной NM). Угол NOM равен 30° по условию. Следовательно катет, лежащий напротив угла в 30 градусов в два раза меньше гипотенузы NO. Отсюда NM = 12 : 2 = 6 (см).
ОТВЕТ: 6 см.
№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр DK и хорды KA и KB так, что ∠OAK = ∠OBK (рис. 67). Докажите, что AK = BK.
Доказательство: Так как 1) ВО = ОА как радиусы одной окружности, 2) ∠OAK = ∠OBK по условию, 3) OК – общая сторона, то △KOВ = △КOА по двум сторонам и углу между ними (1–й признак рав.треуг.) Следовательно, AK = BK.
№ 4. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведённой к нему.
Построение: Чертим на листочке прямую линию, равную по длине основанию. Ставим точки А и В. При помощи циркуля находим середину этого отрезка — раствором циркуля заведомо большим половины отрезка из двух концов отрезка чертим небольшие дуги. Из точки пересечения этих двух дуг опускаем перпендикуляр на основание при помощи угольника. Ведь медиана в равнобедренном треугольнике является также и высотой. Ставим точку Н на основании. Это середина основания. На этом перпендикуляре вверх от точки Н откладываем длину медианы. Ставим точку С. Соединяем точки А, В и С. Треугольник построен.
№ 5. Даны угол и окружность. Найдите на окружности точку, принадлежащую углу и равноудалённую от его сторон. Сколько решений может иметь задача?
Пояснение: В любой угол можно вписать окружность. Центр такой окружности лежит на биссектрисе угла, которая пересекает окружность в двух точках. Пусть окружность вписана в угол ВАС. К и М — точки пересечения окружности биссектрисой. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон (теорема), следовательно, К и М равноудалены от АВ и АС.
ОТВЕТ: 2 решения.
ОТВЕТЫ на Вариант 4
№ 1. На рисунке 68 точка O — центр окружности, ∠BOC = 40°. Найдите угол OBD.
Решение: 1) ∠ BOC и ∠DOB – смежные => ∠DOB = 180° – ∠BOC = 180° – 40° = 140°.
1) OB = OD = r => ΔDOB – равнобедренный => ∠ODB = ∠OBD.
2) ∠ODB + ∠OBD + ∠DOB = 180°. Следовательно, ∠OBD = (180° – 140°) : 2 = 20°.
ОТВЕТ: 20°.
№ 2. К окружности с центром O проведена касательная FK (K — точка касания). Найдите отрезок FK, если радиус окружности равен 14 см и ∠FOK = 45°.
Решение: радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: ОК ⊥ FK ⇒ ΔFOK – прямоугольный.
R = OK = 14 (см)
∠FOK = 45° ⇒ ∠OFK = 90° – 45° = 45° ⇒
ΔFOK – равнобедренный ⇒ FK = OK = 14 (cм)
ОТВЕТ: 14 см.
№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр KB и хорды BC и BD так, что ∠BOC = ∠BOD (рис. 69). Докажите, что BC = BD.
Доказательство: Так как 1) DО = ОC как радиусы одной окружности, 2) ∠BOC = ∠BOD по условию, 3) OB – общая сторона, то △BOD = △BOC по двум сторонам и углу между ними (1–й признак рав.треуг.) Следовательно, BC = BD.
№ 4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, проведённой к ней.
Построение: 1) Пусть даны отрезок a, равный боковой стороне, и отрезок h, равный высоте треугольника, опущенной на основание.
2) На произвольной прямой отметим точку H;
3) Из точки H проведем окружность произвольного радиуса (на рисунке окружность зеленого цвета);
4) Из точек пересечения этой окружности и прямой проведем две окружности одинакового радиуса (на рисунке — серого цвета);
5) Через точки пересечения этих окружностей проведем вторую прямую, она перпендикулярна первой прямой;
6) Из точки H проведем окружность радиуса h (на рисунке — синего цвета) и отметим точку B на пересечении этой окружности и второй прямой;
7) Из точки B проведем окружность радиуса a (на рисунке — оранжевого цвета) и отметим точки A и C на пересечениях этой окружности и первой прямой;
8) Треугольник ABC построен.
№ 5. Даны угол и две точки. Найдите точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и равноудалённую от двух данных точек. Сколько решений может иметь задача?
ОТВЕТ: Множество точек равноудаленных от сторон угла – его биссектриса. Множество точек равноудаленных от двух данных точек – это серединный перпендикуляр. На плоскости две прямые (биссектриса и серединный перпендикуляр) могут:
а) быть параллельными, тогда решений нет,
б) пересекаться, тогда существует единственная точка, удовлетворяющая условию,
в) совпадать, тогда решений бесконечно много.
Вы смотрели: Геометрия 7 Контрольная 4 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 7 классе «Окружность и круг. Геометрические построения» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах (ответов нет).
Вернуться к Списку контрольных работ (ОГЛАВЛЕНИЕ)
Еще 2 варианта контрольной № 4 (с ответами)
Ит ис реал вариант, который будет на кр?))))
Йа йа, натюрлих
ноу
да
большое вам всем спасибо за ответы.Мне нравится этот сайт,а вам не знаю.
ладно.
на 1,2,варианты я ответы нашла,а на 3,4,найти не могу,выходят только сами кр, сайт 6/10
Добавьте больше ответов
Норм
Вариант 4 в номере 4 это такой капец не фига не поняла надо было пошагово сделать здесь как будто вундеркинды сидят блин, зашли на сайт списывать, ну ей Бога, будьте умней
Добавьте решения к 3 и 4 вариантам пж