Геометрия 7 Контрольная 4 В34 Мерзляк

Контрольная работа по геометрии с решениями 7 класс «Окружность и круг. Геометрические построения» для УМК Мерзляк Варианты 3 и 4. Код материалов: Геометрия 7 Контрольная 4 В34. Ответы на все варианты. 
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 7 класс Мерзляк
Контрольная работа № 4

По теме: Окружность и круг. Геометрические построения

К-4 Варианты 3, 4 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть задания

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-4 Варианты 1-2

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. На рисунке 66 точка O — центр окружности, ∠OAD = 34°. Найдите угол FOA.
ОТВЕТ: 68°.

Дано: w(О; r); ∠ OAD = 34°.
Найти: ∠ FOA – ?
Решение: 1) AO = OD = r  ⇒ ΔOAD – равнобедренный ⇒ ∠A = ∠D = ∠OAD = 34°.
2) ∠AOD = 180° – (∠A + ∠D) = 180° – (34° + 34°) = 112°.
3) ∠FOA и ∠AOD – смежные ⇒ ∠FOA = 180° – ∠AOD = 180° – 112° = 68°.

№ 2. К окружности с центром O проведена касательная MN (M — точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 12 см и ∠NOM = 30°.
ОТВЕТ: 6 см.

Решение: В треугольнике NMO угол М = 90°, так как радиус ОМ перпендикулярен касательной NM. Угол NOM равен 30° по условию. Следовательно катет, лежащий напротив угла в 30 градусов в два раза меньше гипотенузы NO. Отсюда NM = 12 : 2 = 6 (см).

№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр DK и хорды KA и KB так, что ∠OAK = ∠OBK (рис. 67). Докажите, что AK = BK.

Доказательство:  ОА = ОК = r, значит △ОАК равнобедренный; ВО = ОК = r, значит △ОВК равнобедренный;
Так как 1) ВО = ОА = r — как радиусы одной окружности, 2) ∠OAK = ∠OBK по условию, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, то и третьи углы тоже равны ∠КOA = ∠КOB; 3) OК – общая сторона, то △KOВ = △КOА по двум сторонам  и углу между ними (1–й признак рав.треуг.) Следовательно, AK = BK.

№ 4. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведённой к нему.
Построение: Чертим на листочке прямую линию, равную по длине основанию. Ставим точки А и В. При помощи циркуля находим середину этого отрезка — раствором циркуля заведомо большим половины отрезка из двух концов отрезка чертим небольшие дуги. Из точки пересечения этих двух дуг опускаем перпендикуляр на основание при помощи угольника. Ведь медиана в равнобедренном треугольнике является также и высотой. Ставим точку Н на основании. Это середина основания. На этом перпендикуляре вверх от точки Н откладываем длину медианы. Ставим точку С. Соединяем точки А, В и С. Треугольник построен.

№ 5. Даны угол и окружность. Найдите на окружности точку, принадлежащую углу и равноудалённую от его сторон. Сколько решений может иметь задача?
Пояснение: В любой угол можно вписать окружность. Центр такой окружности лежит на биссектрисе угла, которая пересекает окружность в двух точках. Пусть окружность вписана в угол ВАС. К и М — точки пересечения окружности биссектрисой. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон (теорема), следовательно, К и М равноудалены от АВ и АС.
ОТВЕТ: 2 решения.

Геометрия 7 Контрольная 4 В34

ОТВЕТЫ на Вариант 4

№ 1. На рисунке 68 точка O — центр окружности, ∠BOC = 40°. Найдите угол OBD.
ОТВЕТ: 20°.

Решение: 1) ∠ BOC и ∠DOB – смежные => ∠DOB = 180° – ∠BOC = 180° – 40° = 140°.
1) OB = OD = r  =>  ΔDOB – равнобедренный => ∠ODB = ∠OBD.
2) ∠ODB + ∠OBD + ∠DOB = 180°. Следовательно, ∠OBD = (180° – 140°) : 2 = 20°.

№ 2. К окружности с центром O проведена касательная FK (K — точка касания). Найдите отрезок FK, если радиус окружности равен 14 см и ∠FOK = 45°.
ОТВЕТ: 14 см.
Решение: радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: ОК ⊥ FK  ⇒ ΔFOK – прямоугольный.
R = OK = 14 (см)
∠FOK = 45°  ⇒  ∠OFK = 90° – 45° = 45°  ⇒
ΔFOK – равнобедренный  ⇒  FK = OK = 14 (cм)

№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр KB и хорды BC и BD так, что ∠BOC = ∠BOD (рис. 69). Докажите, что BC = BD.

Доказательство: Так как 1) DО = ОC как радиусы одной окружности, 2) ∠BOC = ∠BOD по условию, 3) OB – общая сторона, то △BOD = △BOC по двум сторонам и углу между ними (1–й признак рав.треуг.) Следовательно, BC = BD.

№ 4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, проведённой к ней.
Построение представлено 2-мя способами.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ № 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ № 2

1) Пусть даны отрезок a, равный боковой стороне, и отрезок h, равный высоте треугольника, опущенной на основание.
2) На произвольной прямой отметим точку H;
3) Из точки H проведем окружность произвольного радиуса (на рисунке окружность зеленого цвета);
4) Из точек пересечения этой окружности и прямой проведем две окружности одинакового радиуса (на рисунке — серого цвета);
5) Через точки пересечения этих окружностей проведем вторую прямую, она перпендикулярна первой прямой;
6) Из точки H проведем окружность радиуса h (на рисунке — синего цвета) и отметим точку B на пересечении этой окружности и второй прямой;
7) Из точки B проведем окружность радиуса a (на рисунке — оранжевого цвета) и отметим точки A и C на пересечениях этой окружности и первой прямой;
8) Треугольник ABC построен.

№ 5. Даны угол и две точки. Найдите точку, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и равноудалённую от двух данных точек. Сколько решений может иметь задача?
ОТВЕТ: Множество точек равноудаленных от сторон угла – его биссектриса. Множество точек равноудаленных от двух данных точек – это серединный перпендикуляр. На плоскости две прямые (биссектриса и серединный перпендикуляр) могут:
а) быть параллельными, тогда решений нет,
б) пересекаться, тогда существует единственная точка, удовлетворяющая условию,
в) совпадать, тогда решений бесконечно много.

Варианты 1 и 2 смотрите тут: К-4 Варианты 1-2

Вы смотрели: Геометрия 7 Контрольная 4 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 7 классе «Окружность и круг. Геометрические построения» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах. Код материалов: Геометрия 7 Контрольная 4 В34.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Еще 2 варианта контрольной № 4 (с ответами)

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 7 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.