Геометрия 7 Контрольная 3 В12

Геометрия 7 Контрольная 3 В12 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии 7 класс с ответами «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Варианты 1 и 2 из 4-х.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 7 класс (Мерзляк)
Контрольная № 3. Варианты 1-2

К-3. Варианты 1, 2 (задания)

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть задания

 

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-3 Варианты 1-2

Вам понадобится эта шпаргалка:

ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ:

К-3. Ответы на Вариант 1

№ 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника.
ОТВЕТ: 64°, 64°.
Краткое решение. Сумма углов треугольника равна 180°. Углы при основании равны. Пусть угол при основании равен x. Тогда x + x + 52° = 180°. Решим уравнение: 2x = 128° ⇒ x = 64°.

№ 2. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 50).
ОТВЕТ: 75°.

Указание к решению: 1) так как ∠ABK = ∠BKE = 43°, то прямые AD и MF параллельные при секущей ВК;
2) так как прямые AD и MF параллельные, то ∠DCE и ∠CEF – односторонние при секущей СЕ ⇒ ∠DCE = 180° – ∠CEF = 180° – 105° = 75°.

№ 3. Какова градусная мера угла C, изображённого на рисунке 51?
ОТВЕТ: 70°.

Решение. 1) Рассмотрим △AED. Два угла нам известны: ∠EAD = ∠А = 28° и ∠AED = 10°. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то сможем найти третий угол этого треугольника:
∠ADE = 180° — 28° — 10° = 142°.
2) чтобы найти угол BDC воспользуемся свойством смежных углов, сумма которых равна 180°:
∠BDC = 180° — ∠ADE = 180° — 142° = 38°.
3) Рассмотрим △DBC. Два угла нам известны: ∠DBC = ∠B = 72° и ∠BDC = 38°. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то сможем найти третий угол DCB = ∠C = 180° — 72° — 38° = 70°.
Примечание: данное решение не является единственным! Например, действие 1-2 можно заменить одним, если воспользоваться тем, что угол BDC является внешним углом к △AED. Тогда через сумму двух углов треугольника, не смежных с внешним, можно сразу найти
∠BDC = ∠EAD + ∠AED = 28° + 10° = 38°.
А потом уже найти угол С = 180° — 72° — 38° = 70°.

№ 4. Докажите, что AB = CD (рис. 52), если известно, что AB||CD и BO = CO.

Доказательство: ВС и AD – секущие. ∠CDO = ∠OAB – накрест лежащие, ∠DCO = ∠OBA – накрест лежащие; BO = CO – по условию. Следовательно, ΔCOD = ΔAOB. Из равенства треугольников следует, что AB = CD.

№ 5. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете BC отметили точку K такую, что ∠AKC = 60°. Найдите отрезок CK, если BK = 12 см.
Дано: ΔABC, ∠C = 90°, ∠A = 60°. K ∈ BC, ∠AKC = 60°, BK = 12 см.
Найти: CK – ?
Решение: 1) в ΔKCA:  ∠KAC = 180° – ∠C – ∠AKC = 180°– 90°– 60° = 30°.
2) ∠ВКА = 180 – ∠АКС = 120 (смежные углы)
3) ∠ВАК = ∠А – ∠КАС = 60 – 30 = 30
4) в ΔАВК: ∠КВА = 180 – ∠ВКА – ∠ВАК = 180 – 120 – 30 = 30  => ΔАВК – равнобедренный  => КА = ВК = 12 (см)
5) В прямоугольном треугольнике: катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы  => СК = 1/2 • КА = 1/2 • 12 = 6 (см).
ОТВЕТ: 6 см.

К-3. Ответы на Вариант 2

№ 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.
ОТВЕТ: 104°.
Решение: Представим треугольник ABC с основанием BC. Так как Δ ABC равнобедренный (по условию), то углы при основании равны, следовательно ∠B = ∠C = 38°. Мы знаем, что сумма углов треугольника равно 180°, следовательно ∠А = 180° – ∠B – ∠C = 180° – 38° – 38° = 104°.

№ 2. Найдите градусную меру угла CFN (рис. 53).
ОТВЕТ: 44°.

Решение: ∠ADK + ∠MKD = 107° + 73° = 180°, а эти углы — внутренние односторонние при пересечении прямых MN и AC секущей KD.  Следовательно MN ║ AC.
∠CFN = ∠FCD = 44° как внутренние накрест лежащие при пересечении параллельных прямых MN и AC секущей FC.

№ 3. Какова градусная мера угла F, изображённого на рисунке 54?
ОТВЕТ: 60°.

Решение: 1) ∠BED = ∠CEF = 24° (как вертикальные).
2) по теореме «сумма углов треугольника равна 180°» следует, что ∠BDE = 180° – ∠В – ∠BED = 180° – 36° – 24° = 120.
3) ∠АDF смежный с ∠BDE. Сумма смежных углов равна 180°, следовательно, ∠ADF = 180° – ∠BDE = 180° – 120° = 60°.
4) По теореме о сумме углов треугольника следует, что ∠F = 180° – (∠А + ∠ADF) = 180° – (60° + 60°) = 60°.

№ 4. Докажите, что ∠A = ∠C (рис. 55), если известно, что AB||CD и BC||AD.

Доказательство:
Первый способ. Так как в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, то четырехугольник АВСD – параллелограмм. У параллелограмма противоположные углы равны, тогда ∠А = ∠С, что и требовалось доказать.

Второй способ. Так как ВС || АD, то ∠СВD = ∠ВDА как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВС и АD секущей ВD. Аналогично, АВ || СD, тогда ∠АВD = ∠СDВ. В треугольниках АВD и ВСD сторона ВD общая, тогда треугольники подобны по стороне и прилегающим углам, тогда ∠ВАD = ∠ВСD, что и требовалось доказать.

№ 5. В треугольнике MNF известно, что ∠N = 90°, ∠M = 30°, отрезок FD — биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см.
ОТВЕТ: 30 см.

Дано: ΔМNF, ∠N = 90°, ∠M = 30°, FD – биссектриса, FD = 20 см.
Найти: МN – ?
Решение: 1) ∠МFN = 90 – 30 = 60°.
2) Так как ∠DFM = 30° (по свойству биссектрисы) и ∠DMF = 30° (по условию), то ΔМFD – равнобедренный.
3) Так как ΔМFD равнобедренный, то DM = DF = 20 cм.
4) Рассмотрим ΔDFN (прямоугольный). ∠DFN = 30° (по свойству биссектрисы) Следовательно, DN = DF : 2 = 20 : 2 = 10 (cм) – как катет, лежащий против угла 30°.
5) MN = MD + DN = 20 + 10 = 30 (см).

Варианты 3 и 4 смотрите тут: К-3 Варианты 1-2

Вы смотрели: Геометрия 7 Контрольная 3 (Мерзляк). Контрольная работа № 3 по геометрии в 7 классе «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах.

Вернуться к Списку контрольных (по 4 варианта)

Смотреть похожую контрольную № 3 с решениями

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 7 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.