Геометрия 7 Контрольная 3 (Мерзляк)

Геометрия 7 Контрольная 3 (Мерзляк). Контрольная работа по геометрии в 7 классе с ответами «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах.

Вернуться к Списку контрольных (ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 7 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 3

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника

К-3 Варианты 1, 2 (задания)

К-3 Варианты 1, 2 (задания)

 

Геометрия 7 Контрольная 3
ОТВЕТЫ на контрольную работу:

Ответы и пояснения на Вариант 1

№ 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 52°. Найдите углы при основании этого треугольника.
ОТВЕТ: 64°, 64°.

№ 2. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 50).
Указание к решению: ∠DCE и ∠CEF – односторонние); ∠DCE = 180° – ∠CEF = 75°.
ОТВЕТ: 75°.

№ 3. Какова градусная мера угла C, изображённого на рисунке 51?
ОТВЕТ: 70°.

№ 4. Докажите, что AB = CD (рис. 52), если известно, что AB||CD и BO = CO.
Доказательство: ВС и AD – секущие. ∠CDO = ∠OAB – накрест лежащие, ∠DCO = ∠OBA – накрест лежащие; BO = CO – по условию. Следовательно, ΔCOD = ΔAOB. Из равенства треугольников следует, что AB = CD.

№ 5. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете BC отметили точку K такую, что ∠AKC = 60°. Найдите отрезок CK, если BK = 12 см.
Дано: ΔABC, ∠C = 90°, ∠A = 60°. K ∈ BC, ∠AKC = 60°, BK = 12 см.
Найти: CK – ?
Решение: 1) в ΔKCA:  ∠KAC = 180° – ∠C – ∠AKC = 180°– 90°– 60° = 30°.
2) ∠ВКА = 180 – ∠АКС = 120 (смежные углы)
3) ∠ВАК = ∠А – ∠КАС = 60 – 30 = 30
4) в ΔАВК: ∠КВА = 180 – ∠ВКА – ∠ВАК = 180 – 120 – 30 = 30  => ΔАВК – равнобедренный  => КА = ВК = 12 (см)
5) В прямоугольном треугольнике: катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы  => СК = 1/2 • КА = 1/2 • 12 = 6 (см).
ОТВЕТ: 6 см.

---

Ответы на Вариант 2

№ 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.
ОТВЕТ: 104°.
Решение: Представим треугольник ABC с основанием BC. Так как Δ ABC равнобедренный (по условию), то углы при основании равны, следовательно ∠B = ∠C = 38°. Мы знаем, что сумма углов треугольника равно 180°, следовательно ∠А = 180° – ∠B – ∠C = 180° – 38° – 38° = 104°.

№ 2. Найдите градусную меру угла CFN (рис. 53).
ОТВЕТ: 44°.
Решение: ∠ADK + ∠MKD = 107° + 73° = 180°, а эти углы — внутренние односторонние при пересечении прямых MN и AC секущей KD.  Следовательно MN ║ AC.
∠CFN = ∠FCD = 44° как внутренние накрест лежащие при пересечении параллельных прямых MN и AC секущей FC.

№ 3. Какова градусная мера угла F, изображённого на рисунке 54?
ОТВЕТ: 60°.
Решение: 1) ∠BED = ∠CEF = 24° (как вертикальные).
2) по теореме «сумма углов треугольника равна 180°» следует, что ∠BDE = 180° – ∠В – ∠BED = 180° – 36° – 24° = 120.
3) ∠АDF смежный с ∠BDE. Сумма смежных углов равна 180°, следовательно, ∠ADF = 180° – ∠BDE = 180° – 120° = 60°.
4) По теореме о сумме углов треугольника следует, что ∠F = 180° – (∠А + ∠ADF) = 180° – (60° + 60°) = 60°.

№ 4. Докажите, что ∠A = ∠C (рис. 55), если известно, что AB||CD и BC||AD.
Доказательство;

Первый способ. Так как в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, то четырехугольник АВСD – параллелограмм. У параллелограмма противоположные углы равны, тогда ∠А = ∠С, что и требовалось доказать.

Второй способ. Так как ВС || АD, то ∠СВD = ∠ВDА как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВС и АD секущей ВD. Аналогично, АВ || СD, тогда ∠АВD = ∠СDВ. В треугольниках АВD и ВСD сторона ВD общая, тогда треугольники подобны по стороне и прилегающим углам, тогда ∠ВАD = ∠ВСD, что и требовалось доказать.

№ 5. В треугольнике MNF известно, что ∠N = 90°, ∠M = 30°, отрезок FD — биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см.
ОТВЕТ: 30 см.
Решение:

Дано: ΔМNF, ∠N = 90°, ∠M = 30°, FD – биссектриса, FD = 20 см.
Найти: МN – ?
1) ∠МFN = 90 – 30 = 60°.
2) Так как ∠DFM = 30° (по свойству биссектрисы) и ∠DMF = 30° (по условию), то ΔМFD – равнобедренный.
3) Так как ΔМFD равнобедренный, то DM = DF = 20 cм.
4) Рассмотрим ΔDFN (прямоугольный). ∠DFN = 30° (по свойству биссектрисы) Следовательно, DN = DF : 2 = 20 : 2 = 10 (cм) – как катет, лежащий против угла 30°.
5) MN = MD + DN = 20 + 10 = 30 (см).

---

Ответы на Вариант 3

№ 1. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 104°. Найдите углы при основании этого треугольника.
ОТВЕТ: 38°, 38°.

№ 2. Найдите градусную меру угла BDT (рис. 56).
ОТВЕТ: 80°.

№ 3. Какова градусная мера угла B, изображённого на рисунке 57?
ОТВЕТ: 104°.

№ 4. Докажите, что AO = CO (рис. 58), если известно, что AB = CD и AB||CD.
Доказательство: ∆ВОА = ∆COD по 2-му признаку (по стороне и двум прилегающим углам), так как: ∠ВАО = ∠DCО как накрест лежащие; ∠СDO = ∠АBO как накрест лежащие; AB = CD по условию  ⇒  АО = СО.

№ 5. В треугольнике DAB известно, что ∠A = 90°, ∠D = 30°, отрезок BT — биссектриса треугольника. Найдите катет DA, если DT = 8 см.
Решение: Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, тогда ∠ABD = 90° – ∠ADB = 90° – 30° = 60°. Отрезок АТ, по условию, биссектриса ∠ABD, тогда ∠ABT = ∠DBT = ∠ABD / 2 = 60 / 2 = 300.
В треугольнике BDT ∠BDT = ∠DBT = 30, значит △BDT равнобедренный с основанием BD, следовательно ВТ = DТ = 8 см.
В треугольнике АВТ катет АТ лежит против угла 30, тогда его длина равна половине длины гипотенузы ВТ.
АТ = ВТ / 2 = 8/2 = 4 см. Тогда DA = DТ + АТ = 8 + 4 = 12 см.
ОТВЕТ: 12 см.

---

Ответы на Вариант 4

№ 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 82°. Найдите угол при вершине этого треугольника.
ОТВЕТ: 16°.

№ 2. Найдите градусную меру угла BMF (рис. 59).
ОТВЕТ: 65°.

№ 3. Какова градусная мера угла B, изображённого на рисунке 60?
ОТВЕТ: 49°.

№ 4. Докажите, что ∠AFN = ∠MNF (рис. 61), если известно, что AN = FM и AN||FM.
Доказательство: AN║FM, а FN — секущая при этих параллельных прямых. По свойству углов при параллельных прямых и секущей накрест лежащие углы равны (∠NFМ = ∠FNA). В ∆AFN и ∆MFN сторона AN = FM по условию, FN — общая, и углы между этими сторонами равны. Следовательно, ∆AFN = ∆MFN по 1-му признаку равенства треугольников. Значит, ∠AFN = ∠MNF.

№ 5. В треугольнике ABC известно, что ∠B = 90°, ∠ACB = 60°, отрезок CD — биссектриса треугольника. Найдите катет AB, если BD = 5 см.
Решение: так как ∠С = 60°, то биссектриса CD делит его на 2 угла по 30°.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. ⇒
в ∆ АВС ∠А = 90° – 60° = 30°
в ∆ АDС ∠САD = ∠АСD = 30°. Равенство углов при одной из сторон — признак равнобедренного треугольника. Следовательно, АD = DС.
∆ ВСD — прямоугольный, катет BD противолежит углу 30° и равен половине гипотенузы СD (свойство). Следовательно, СD = 2 • ВD = 10 см.
Катет АD = СD = 10 см. Тогда АВ = ВD + АD = 5 + 10 = 15 см.
ОТВЕТ: 15 см.

 

---

Вы смотрели: Геометрия 7 Контрольная 3 (Мерзляк). Контрольная работа № 3 по геометрии в 7 классе «Параллельные прямые. Сумма углов треугольника» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир в 4-х вариантах.

Вернуться к Списку контрольных для УМК Мерзляк (4 варианта)

Смотреть аналогичную контрольную № 3 (2 варианта) с решениями

(с) Цитаты из пособия «Геометрия 7 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.