Контрольная работа № 5 по геометрии для 10 класса «Многогранники» УМК Мерзляк Базовый уровень Вариант 2. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Геометрия 10 Мерзляк КР-5 в2.
Вернуться к Списку контрольных
Геометрия 10 класс (Мерзляк)
Контрольная № 5. Вариант 2
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
№ 1. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 17 см, а основание — 16 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если её боковое ребро равно 10 см.
Решение: Площадь полной поверхности призмы вычисляется по формуле:
\[
S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}
\]
1. Найдем площадь основания (равнобедренного треугольника).
Проведем высоту к основанию. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, поэтому она делит основание пополам:
\[
\frac{16}{2} = 8 \text{ см}
\]
По теореме Пифагора найдем высоту \(h\):
\[
h = \sqrt{17^2 — 8^2} = \sqrt{289 — 64} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}
\]
Площадь треугольника:
\[
S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120 \text{ см}^2
\]
2. Найдем площадь боковой поверхности.
Боковая поверхность прямой призмы состоит из трех прямоугольников. Периметр основания:
\[
P_{\text{осн}} = 17 + 17 + 16 = 50 \text{ см}
\]
Высота призмы (боковое ребро) равна 10 см.
\[
S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h_{\text{призмы}} = 50 \cdot 10 = 500 \text{ см}^2
\]
3. Полная площадь:
\[
S_{\text{полн}} = 2 \cdot 120 + 500 = 240 + 500 = 740 \text{ см}^2
\]
✅ Ответ: \(740 \text{ см}^2\).
№ 2. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро — \(\sqrt{34}\) см. Найдите: 1) высоту пирамиды; 2) площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение:
1. Найдем высоту пирамиды.
В основании — квадрат со стороной 6 см. Диагональ квадрата:
\[
d = 6\sqrt{2} \text{ см}
\]
Половина диагонали (расстояние от центра основания до вершины основания):
\[
\frac{d}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см}
\]
Высота пирамиды \(H\), боковое ребро \(l = \sqrt{34}\) и половина диагонали образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
\[
H = \sqrt{l^2 — \left(\frac{d}{2}\right)^2} = \sqrt{34 — (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{34 — 18} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}
\]
2. Найдем площадь боковой поверхности.
Боковая поверхность состоит из четырех равных равнобедренных треугольников.
Найдем апофему (высоту боковой грани) \(a\). Апофема, половина стороны основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник:
\[
a = \sqrt{l^2 — \left(\frac{6}{2}\right)^2} = \sqrt{34 — 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}
\]
Площадь одной боковой грани:
\[
S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15 \text{ см}^2
\]
Площадь боковой поверхности:
\[
S_{\text{бок}} = 4 \cdot 15 = 60 \text{ см}^2
\]
✅ Ответ:
1) Высота пирамиды: \(4 \text{ см}\)
2) Площадь боковой поверхности: \(60 \text{ см}^2\).
№ 3. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной усечённой пирамиды, стороны оснований которой равны 12 см и 20 см, а боковое ребро — \(2\sqrt{13}\) см.
Решение: Правильная треугольная усеченная пирамида имеет в основаниях равносторонние треугольники. Боковая поверхность состоит из трех равных равнобедренных трапеций.
1. Найдем высоту боковой грани (апофему усеченной пирамиды).
Рассмотрим одну боковую грань — трапецию с основаниями 12 см и 20 см и боковой стороной \(2\sqrt{13}\) см.
Проведем высоту трапеции. Разность оснований:
\[
20 — 12 = 8 \text{ см}
\]
Эта разность делится пополам на два отрезка по 4 см, которые отсекаются высотами от большего основания.
По теореме Пифагора найдем высоту трапеции \(h_{\text{тр}}\):
\[
h_{\text{тр}} = \sqrt{(2\sqrt{13})^2 — 4^2} = \sqrt{4 \cdot 13 — 16} = \sqrt{52 — 16} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}
\]
2. Площадь одной боковой грани (трапеции):
\[
S_{\text{тр}} = \frac{12 + 20}{2} \cdot 6 = \frac{32}{2} \cdot 6 = 16 \cdot 6 = 96 \text{ см}^2
\]
3. Площадь боковой поверхности:
Таких граней три:
\[
S_{\text{бок}} = 3 \cdot 96 = 288 \text{ см}^2
\]
✅ Ответ: 288 см².
№ 4. Основанием пирамиды является ромб с тупым углом α и большей диагональю d. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны β. Найдите: 1) площадь боковой поверхности пирамиды; 2) высоту пирамиды.
Решение:
1. Анализ геометрии пирамиды. В основании — ромб. Тупой угол ромба равен α, значит острый угол равен \(180^\circ — \alpha\).
Большая диагональ ромба \(d\) лежит против тупого угла α.
Сторону ромба обозначим \(a\).
По свойству ромба:
\[
d = 2a \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(большая диагональ)}
\]
Отсюда:
\[
a = \frac{d}{2 \cos(\alpha/2)}
\]
2. Радиус вписанной окружности в ромб.
Высота ромба \(h_{\text{ромба}} = a \sin\alpha\).
Площадь ромба:
\[
S_{\text{осн}} = a \cdot h_{\text{ромба}} = a^2 \sin\alpha
\]
Радиус вписанной окружности (расстояние от центра ромба до стороны):
\[
r = \frac{S_{\text{осн}}}{P_{\text{ромба}}/2} = \frac{a^2 \sin\alpha}{2a} = \frac{a \sin\alpha}{2}
\]
Подставим \(a\):
\[
r = \frac{d}{4 \cos(\alpha/2)} \cdot \sin\alpha
\]
Используем формулу \(\sin\alpha = 2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)\):
\[
r = \frac{d}{4 \cos(\alpha/2)} \cdot 2 \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2) = \frac{d \sin(\alpha/2)}{2}
\]
3. Связь двугранного угла β с высотой и апофемой.
Двугранный угол при ребре основания — это угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.
Если из вершины пирамиды опустить перпендикуляр \(H\) (высота) на основание, то проекция апофемы на основание равна \(r\).
Тогда:
\[
\tan\beta = \frac{H}{r} \quad \Rightarrow \quad H = r \tan\beta = \frac{d \sin(\alpha/2)}{2} \tan\beta
\]
Это высота пирамиды (ответ на пункт 2).
4. Площадь боковой поверхности.
Боковая поверхность состоит из 4 равных треугольников.
Апофема \(l\) (высота боковой грани) находится из прямоугольного треугольника:
\[
l = \frac{H}{\sin\beta} = \frac{r \tan\beta}{\sin\beta} = \frac{r}{\cos\beta}
\]
Подставляем \(r\):
\[
l = \frac{d \sin(\alpha/2)}{2 \cos\beta}
\]
Площадь одной боковой грани:
\[
S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{2 \cos(\alpha/2)} \cdot \frac{d \sin(\alpha/2)}{2 \cos\beta}
\]
Упрощаем:
\[
S_{\text{грани}} = \frac{d^2 \sin(\alpha/2)}{8 \cos(\alpha/2) \cos\beta} = \frac{d^2 \tan(\alpha/2)}{8 \cos\beta}
\]
Площадь боковой поверхности:
\[
S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{грани}} = \frac{d^2 \tan(\alpha/2)}{2 \cos\beta}
\]
✅ Ответ:
1. \(S_{\text{бок}} = \dfrac{d^2 \tan(\alpha/2)}{2 \cos\beta}\)
2. \(H = \dfrac{d \sin(\alpha/2)}{2} \tan\beta\).
№ 5. В наклонной треугольной призме, боковое ребро которой равно 12 см, проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру. Это сечение является треугольником со сторонами 3 см и 5 см и углом 120° между ними. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение:
1. Понимание задачи. В наклонной призме боковое ребро наклонено к плоскости основания. Если провести сечение, перпендикулярное боковому ребру, то это сечение будет перпендикулярно всем боковым рёбрам.
Периметр этого сечения, умноженный на длину бокового ребра, даёт площадь боковой поверхности наклонной призмы (аналогично прямой призме, где сечение — перпендикулярное ребру, является основанием «развёртки»).
2. Вычисление периметра сечения.
Сечение — треугольник. Даны две стороны: \(a = 3\) см, \(b = 5\) см, угол между ними \(120^\circ\).
Найдём третью сторону \(c\) по теореме косинусов:
\[
c^2 = a^2 + b^2 — 2ab \cos 120^\circ
\]
\(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\).
\[
c^2 = 3^2 + 5^2 — 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 9 + 25 + 15 = 49
\]
\[
c = 7 \text{ см}
\]
3. Периметр треугольника сечения:
\[
P_{\text{сеч}} = 3 + 5 + 7 = 15 \text{ см}
\]
4. Площадь боковой поверхности:
Боковое ребро \(L = 12\) см.
\[
S_{\text{бок}} = P_{\text{сеч}} \cdot L = 15 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2
\]
✅ Ответ: \(S_{\text{бок}} = 180\) см².
Другой вариант:
Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии «Многогранники» для 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень». Геометрия 10 Мерзляк КР-5 в1.
