Контрольная работа № 4 по геометрии для 10 класса «Угол между прямой и плоскостью» УМК Мерзляк Базовый уровень Вариант 2. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень» (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Геометрия 10 Мерзляк КР-4 в2.
Вернуться к Списку контрольных.
Геометрия 10 класс (Мерзляк)
Контрольная № 4. Вариант 2
Тема: Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Перпендикулярные плоскости
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ
№ 1. Из точки М проведены к плоскости β наклонные МА и МВ, образующие с ней углы 60° и 45° соответственно. Найдите проекцию наклонной МВ на плоскость β, если AM = 8√3 см.
ОТВЕТ: 12 см.
Краткое решение:
1. Пусть \( A’ \) и \( B’ \) — проекции точек \( A \) и \( B \) на плоскость \( \beta \). Тогда \( MA’ \) и \( MB’ \) — перпендикуляры к плоскости.
2. \( \angle MAA’ = 60^\circ \) — угол между \( MA \) и плоскостью. В прямоугольном треугольнике \( MAA’ \):
\[
\sin 60^\circ = \frac{MA’}{MA} \Rightarrow MA’ = MA \cdot \sin 60^\circ = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \text{ см}.
\]
3. Высота \( MA’ \) одинакова для обеих наклонных, так как она опущена из одной точки.
4. Для \( MB \): угол \( \angle MBB’ = 45^\circ \). В треугольнике \( MBB’ \):
\[
tg\; 45^\circ = \frac{MA’}{AB’} \Rightarrow 1 = \frac{12}{AB’} \Rightarrow AB’ = 12 \text{ см}.
\]
(Здесь \( AB’ \) — проекция \( MB \).)
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 2. Точка С принадлежит одной из граней двугранного угла и удалена от его ребра на 14 см. Найдите расстояние от точки С до другой грани двугранного угла, если величина этого угла равна 30°.
ОТВЕТ: 7 см.
Решение:
1. Пусть ребро двугранного угла — прямая \( l \). Точка \( C \) лежит на одной грани.
2. Расстояние от \( C \) до ребра — это длина перпендикуляра \( CK \) к \( l \), \( CK = 14 \) см.
3. Искомое расстояние до другой грани — это длина перпендикуляра \( CH \) от \( C \) ко второй грани.
4. Угол между гранями \( = 30^\circ \). В треугольнике \( CKH \) (где \( H \) — основание перпендикуляра на вторую грань) угол при вершине \( K \) равен \( 30^\circ \).
5. Тогда:
\[
CH = CK \cdot \sin 30^\circ = 14 \cdot \frac12 = 7 \text{ см}.
\]
№ 3. Угол между плоскостями треугольников DCF и DEF равен 45°, DE = EF = 9√2 см, DC = CF = 15 см, DF = 24 см. Найдите отрезок СЕ.
ОТВЕТ: 3√5 см.
Решение:
1. Треугольники имеют общую сторону \( DF \).
2. В \( \triangle DEF \): \( DE = EF = 9\sqrt{2} \), \( DF = 24 \). Найдём высоту \( EK \) к \( DF \):
\[
EK = \sqrt{(9\sqrt{2})^2 — (12)^2} = \sqrt{162 — 144} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ см}.
\]
3. В \( \triangle DCF \): \( DC = CF = 15 \), \( DF = 24 \). Высота \( CK \) к \( DF \):
\[
CK = \sqrt{15^2 — 12^2} = \sqrt{225 — 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ см}.
\]
4. Угол между плоскостями равен углу между высотами \( EK \) и \( CK \) (если они проведены к одной точке \( K \) на \( DF \)).
5. По теореме косинусов в треугольнике \( EKC \):
\[
CE^2 = EK^2 + CK^2 — 2 \cdot EK \cdot CK \cdot \cos 45^\circ.
\]
\[
CE^2 = (3\sqrt{2})^2 + 9^2 — 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 18 + 81 — 54 = 45.
\]
\[
CE = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ см}.
\]
№ 4. Плоскости α и β перпендикулярны. Прямая с — линия их пересечения. В плоскости α выбрали точку М, а в плоскости β — точку N такие, что расстояния от них до прямой с равны 6 см и 7 см соответственно. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, проведённых из точек M и N к прямой с, если расстояние между точками М и N равно √110 см.
ОТВЕТ: 5 см.
Решение:
1. Пусть \( M’ \) и \( N’ \) — основания перпендикуляров из \( M \) и \( N \) на прямую \( c \).
\( MM’ = 6 \) см, \( NN’ = 7 \) см.
2. Так как плоскости перпендикулярны, то отрезки \( MM’ \) и \( NN’ \) перпендикулярны друг другу (один лежит в \( \alpha \), другой — в \( \beta \), а их основания на одной прямой \( c \)).
3. Расстояние \( M’N’ \) — искомое. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( MNN’ \):
\( MN \) — гипотенуза, \( NN’ = 7 \) см, \( MN’ \) — катет.
Но \( MN’ \) — это гипотенуза треугольника \( MM’N’ \), где \( MM’ = 6 \), \( M’N’ = x \).
4. По теореме Пифагора для \( \triangle MNN’ \):
\[
MN^2 = NN’^2 + MN’^2 \Rightarrow 110 = 49 + MN’^2 \Rightarrow MN’^2 = 61.
\]
5. Для \( \triangle MM’N’ \):
\[
MN’^2 = MM’^2 + M’N’^2 \Rightarrow 61 = 36 + x^2 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = 5 \text{ см}.
\]
№ 5. Через вершину А квадрата ABCD провели перпендикуляр МА к плоскости квадрата. Угол между плоскостями АВС и ВМС равен 30°. Найдите угол между прямой МС и плоскостью квадрата.
ОТВЕТ: arctg\;(√6/6) ≈ 22,2°.
Решение:
1. Пусть сторона квадрата равна \( a \). Тогда \( AC = a\sqrt{2} \).
2. \( MA \perp (ABC) \), значит, \( MA \) — высота. Обозначим \( MA = h \).
3. Плоскость \( BMC \) содержит точки \( B, M, C \). Угол между плоскостями \( ABC \) и \( BMC \) — это угол между их перпендикулярами или линейный угол двугранного угла.
4. Линия пересечения плоскостей — \( BC \). В плоскости \( ABC \) проведём перпендикуляр к \( BC \) из точки \( A \): это \( AB \) (так как \( AB \perp BC \) в квадрате).
5. В плоскости \( BMC \) проведём перпендикуляр к \( BC \) из точки \( M \): это \( MB \) (так как \( MB \) — наклонная, её проекция \( AB \perp BC \), значит, \( MB \perp BC \) по теореме о трёх перпендикулярах).
6. Угол между плоскостями — это угол между \( AB \) и \( MB \), то есть \( \angle MBA = 30^\circ \).
7. В \( \triangle MAB \):
\[
tg\; 30^\circ = \frac{MA}{AB} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{a} \Rightarrow h = \frac{a}{\sqrt{3}}.
\]
8. Искомый угол между \( MC \) и плоскостью квадрата — это угол \( \angle MCA \) (где \( AC \) — проекция \( MC \)).
В \( \triangle MAC \):
\[
tg\; \angle MCA = \frac{MA}{AC} = \frac{a/\sqrt{3}}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}.
\]
Следовательно, угол равен \( arctg\;\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) \).
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Другой вариант:
КР-4. Вариант 1
Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии «Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Перпендикулярные плоскости» для 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Цитаты из пособия «Дидактические материалы. Геометрия 10 класс. Базовый уровень». Геометрия 10 Мерзляк КР-4 в2.
