Контрольная работа по геометрии с ответами 10 класс Базовый уровень «Аксиомы стереометрии и следствия из них. Начальные представления о многогранниках» Варианты 3-4 для УМК Мерзляк п/р. В. Е. Подольского. Код материалов: Геометрия 10 Контрольная 1 В34 + Решения. Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Геометрия 10 класс (Мерзляк, баз.)
Контрольная № 1. Варианты 3-4
№ 1. На рисунке 5 изображён куб ABCDA1B1C1D1. Укажите прямую пересечения плоскостей AD1C1 и B1BC.
ОТВЕТ: ВC1.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 2. Даны точки D, E и F такие, что DE = 11 см, EF = 16 см, DF = 27 см. Сколько плоскостей можно провести через точки D, E и F? Ответ обоснуйте.
ОТВЕТ: Бесконечно много.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Три точки задают единственную плоскость, если они не лежат на одной прямой.
Проверим коллинеарность: DE + EF = 11 + 16 = 27 = DF.
Это означает, что точка E лежит на отрезке DF. Значит, точки D, E, F коллинеарны. Через одну прямую (три коллинеарные точки) можно провести бесконечно много плоскостей.
№ 3. В окружности с центром O проведены диаметры AB и CD. Плоскость а проходит через точки A, C и O. Докажите, что прямая BD лежит в плоскости а.
ОТВЕТ: см. в спойлере
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: Окружность с центром O, диаметры AB и CD. Плоскость α проходит через точки A, C, O. Доказать: Прямая BD лежит в плоскости α. Доказательство:
1. Так как A ∈ α и O ∈ α, то вся прямая AO лежит в плоскости α (аксиома).
Диаметр AB проходит через A и O, значит B ∈ AO \subset α.
Вывод: B ∈ α.
2. Так как C ∈ α и O ∈ α, то вся прямая CO лежит в плоскости α.
Диаметр CD проходит через C и O, значит D ∈ CO \subset α.
Вывод: D ∈ α.
3. Так как две точки B и D прямой BD лежат в плоскости α, то и вся прямая BD лежит в плоскости α (аксиома). Что и требовалось доказать.
№ 4. Точки M и N принадлежат соответственно граням SBC и SAC пирамиды SABC (рис. 6). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC.
ОТВЕТ: см. в спойлере
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: Точки M ∈ грани SBC, N ∈ грани SAC пирамиды SABC. Построить: Точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC. Построение:
1. Проводим прямые через вершину S и точки M, N до пересечения с плоскостью ABC:
— В грани SBC: проводим прямую SM, продолжаем её до пересечения с прямой BC в точке K.
— В грани SAC: проводим прямую SN, продолжаем её до пересечения с прямой AC в точке P.
2. Строим след секущей плоскости: Прямая KP — это линия пересечения плоскости SMN с плоскостью ABC.
3. Находим искомую точку: Прямая MN лежит в плоскости SMN.
Продолжаем MN до пересечения с прямой KP в точке D.
Точка D = MN ∩ KP — искомая точка пересечения прямой MN с плоскостью ABC.
№ 5. Постройте сечение пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точки M, K и N, принадлежащие соответственно рёбрам SA, SB и BC, причём прямые MK и AB не параллельны.
ОТВЕТ: Сечение — четырёхугольник MKNE на рисунке.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано:
точки: M ∈ SA , K ∈ SB , N ∈ BC . Прямые MK и AB не параллельны. Цель: Построить сечение пирамиды плоскостью MKN . Алгоритм построения: Шаг 1. Строим отрезки в боковых гранях, где уже есть две точки сечения.
1. В грани SAB : точки M и K лежат в одной грани. Соединяем их отрезком MK .
2. В грани SBC : точки K и N лежат в одной грани. Соединяем их отрезком KN . Шаг 2. Находим линию пересечения плоскости сечения MKN с основанием ABC .
1. Продолжаем отрезок MK в грани SAB до пересечения с прямой AB . Так как MK и AB не параллельны, они пересекутся в точке D .
D = MK ∩ AB
Точка D лежит в плоскости сечения MKN (т. к. принадлежит прямой MK ) и в плоскости основания ABC (т. к. принадлежит прямой AB ).
2. Теперь в плоскости основания ABC у нас есть две точки, принадлежащие сечению: D и N . Соединяем их прямой DN .
3. Прямая DN — это след плоскости сечения MKN на плоскости основания ABC . Шаг 3. Находим недостающую вершину сечения на ребре AC .
1. Продолжаем прямую DN в плоскости основания до пересечения с ребром AC . Точку пересечения обозначаем E .
E = DN ∩ AC
Точка E лежит в плоскости основания ABC (по построению) и в плоскости сечения MKN (т. к. лежит на прямой DN , которая является следом). Шаг 4. Завершаем сечение, построив отрезок в оставшейся грани.
1. В грани SAC : точки M и E лежат в одной грани и принадлежат плоскости сечения. Соединяем их отрезком ME . Результат: Сечение пирамиды плоскостью MKN — это четырехугольник MKNE. Грани, в которых лежат стороны сечения:
MK — в грани SAB; KN — в грани SBC;
NE — в грани ABC; EM — в грани SAC.
Ответ: Сечение — четырёхугольник MKNE.
Ответы на вариант 4
№ 1. На рисунке 7 изображён куб ABCDA1B1C1D1. Укажите прямую пересечения плоскостей D1BC и AA1B1.
ОТВЕТ: A1В.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
№ 2. Даны точки B, C и D такие, что BC = 4 см, CD = 16 см, BD = 18 см. Сколько плоскостей можно провести через точки B, C и D? Ответ обоснуйте.
ОТВЕТ: Через точки B, C, D можно провести одну плоскость.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Проверим, лежат ли точки на одной прямой. Если бы они лежали на одной прямой, то одна из длин равнялась бы сумме двух других:
BC + CD = 4 + 16 = 20 ≠ BD = 18,
BC + BD = 4 + 18 = 22 ≠ CD = 16,
CD + BD = 16 + 18 = 34 ≠ BC = 4.
Ни одно равенство не выполняется, значит, точки не коллинеарны.
№ 3. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Плоскость а проходит через точки A, O и C. Докажите, что точка B лежит в плоскости а.
ОТВЕТ: см. в спойлере
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: △ABC, отрезок AD — биссектриса, O — центр вписанной окружности. Плоскость α проходит через точки A, O, C. Доказать: Точка B лежит в плоскости α. Доказательство:
1. Центр O вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника. Так как AD — биссектриса и O ∈ AD, то точки A, O, D лежат на одной прямой.
2. Так как A ∈ α и O ∈ α, то вся прямая AO лежит в плоскости α.
Но D ∈ AO, следовательно, D ∈ α. Вывод: D ∈ α.
3. Рассмотрим прямую CD (где D — точка на стороне BC).
Точки C ∈ α и D ∈ α (по доказанному), значит, вся прямая CD лежит в плоскости α. Но точка B лежит на прямой CD (так как D — точка на стороне BC).
Вывод: B ∈ CD ⊂ α.
4. Таким образом, точка B лежит в плоскости α. Что и требовалось доказать.
№ 4. Точки M и N принадлежат соответственно граням SAB и SBC пирамиды SABC (рис. 8). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью SAC.
ОТВЕТ: см. в спойлере
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано: Точки M ∈ грани SAB, N ∈ грани SBC пирамиды SABC. Построить: Точку пересечения прямой MN с плоскостью SAC. Построение:
1. Проводим прямые через вершину S и точки M, N до пересечения с плоскостью ABC:
— В грани SAB: проводим SM, продолжаем до пересечения с AB в точке K.
— В грани SBC: проводим SN, продолжаем до пересечения с BC в точке P.
2. Строим линию пересечения плоскости SMN с плоскостью ABC:
Прямая KP — след.
3. Находим точку пересечения прямой MN с плоскостью SAC:
Плоскость SAC и плоскость SMN пересекаются по прямой SX, где X = KP ∩ AC. Проводим SX в плоскости SAC. Прямая MN лежит в плоскости SMN.
Точка Q = MN ∩ SX — искомая точка пересечения прямой MN с плоскостью SAC.
№ 5. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершину B1 и точки M и K, принадлежащие соответственно рёбрам AB и CC1.
ОТВЕТ: Сечением куба является четырёхугольник MB₁KN на рисунке.
Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ
Дано:
Куб ABCDA₁B₁C₁D₁, Точка M лежит на ребре AB. Точка K лежит на ребре CC₁
Необходимо построить сечение, проходящее через точки B₁, M и K. Решение:
1. Анализ исходных данных:
Точка B₁ — вершина куба
Точка M принадлежит ребру AB (лежит в грани ABB₁A₁)
Точка K принадлежит ребру CC₁ (лежит в грани BCC₁B₁)
2. Построение основных элементов:
Проводим прямую B₁M в грани ABB₁A₁
Проводим прямую B₁K в грани BCC₁B₁
3. Нахождение дополнительных точек:
Прямая B₁K лежит в грани BCC₁B₁. Продлеваем её до пересечения с ребром BC. Получаем точку P (B₁K ∩ BC = P)
Соединяем точки M и P. Прямая MP лежит в плоскости основания ABCD
Находим точку пересечения MP с ребром DC. Получаем точку N (MP ∩ DC = N)
Соединяем точки N и K. Прямая NK лежит в грани CC₁D₁D
4. Обоснование построения:
Точки B₁, M, K, N лежат в одной плоскости, так как:
B₁M и B₁K лежат в разных гранях куба
MP и NK являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями куба
Все построенные точки являются точками пересечения секущей плоскости с рёбрами куба. Полученная фигура MB₁KN является замкнутой ломаной линией
5. Проверка правильности построения:
Каждая сторона многоугольника лежит либо на ребре куба, либо в его грани
Все вершины многоугольника являются точками пересечения секущей плоскости с рёбрами куба. Многоугольник полностью лежит внутри куба. Ответ: Сечением куба является четырёхугольник MB₁KN, где:
Сторона MB₁ лежит в грани ABB₁A₁
Сторона B₁K лежит в грани BCC₁B₁
Сторона KN лежит в грани CC₁D₁D
Сторона NM лежит в основании ABCD
Таким образом, построенное сечение корректно и полностью удовлетворяет условиям задачи.
Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии в 10 классе (базовый уровень) «Аксиомы стереометрии и следствия из них. Начальные представления о многогранниках» для УМК Мерзляк, Номировский, Поляков, под ред. В. Е. Подольского в 4-х вариантов. Геометрия 10 Контрольная 1 В34.
(с) Цитаты из пособия «Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. Базовый уровень : 10 класс : методическое пособие / Е. В. Буцко, А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. — М.: Вентана-Граф» использованы в учебных целях.
