Алгебра 10 Мерзляк КР-3

Контрольная работа № 3 по алгебре для 10 класса «Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства» УМК Мерзляк Базовый уровень (два варианта). Цитаты из пособия «Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Базовый уровень»  (авт. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М.Рабинович, М.С.Якир, изд-во «Вентана-Граф») использованы на сайте в незначительных объемах, исключительно в учебных целях (пп. 1 п. 1 ст. 1274 ГК РФ). Алгебра 10 Мерзляк КР-3.

Алгебра 10 класс (Мерзляк)
Контрольная работа № 3.

Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства.

КР-3. Вариант 1 (задания)

КР-3. Вариант 2 (задания)

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Найдите значение выражения:
1) 0,25 • 64^1/3;   2) 36^1,5;   3) (1 ²⁴/₂₅)^–0,5.
ОТВЕТ: 1) 1;   2) 216;  3) 5/7.

№ 2. Упростите выражение:   1) а^0,9 – а^2,4;   2) a^17/18 : а^1/12;   3) (а³)^–0,4 • (а^–5)^–0,2 : (а^–0,7)⁶;   4) (a^11/7b^3/14)^28/11.
ОТВЕТЫ: 1) a^3,3;  2) a^37/36;  3) a⁴;   4) a⁴ b^6/11.

№ 3. Решите уравнение √[6х + 16] = х.
ОТВЕТ: (ОДЗ: x>= 0) x= 8.

№ 4. Сократите дробь:   1) (a – 9a^5/6)/(a^1/6 – 9);   2) (a^1/3 – 9b^1/6)/(a^1/6 + 3b^1/12);   3) …
ОТВЕТЫ:
1) a^5/6;  2) a^1/6 – 3b^1/12;  3) (2x^1/8 – y^1/6) / (x^1/8 • y^1/6).

№ 5. Постройте график функции у = ((х + 5)^1/5)⁵.
Решение:
\( ((x+5)^{\frac{1}{5}})^5 = x+5 \) при условии, что \( x+5 \ge 0 \) (для вещественных чисел при нечётном корне можно без ограничений, но \( \frac{1}{5} \) — нечётный корень 5-й степени, определен для всех \( x \), и возведение в 5-ю степень даёт \( x+5 \) для всех \( x \)).
Значит, \( y = x+5 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \).
Ответ: прямая y = x+5.

№ 6. Решите уравнение:
1) ³√[х + 7] – ⁶√[x + 7] =2;   2) √[x + 6] – √[x – 2] = 2.
ОТВЕТЫ:
1) (ОДЗ: x>= –7) x= 57;
2) (ОДЗ: x>= 2) x= 3.

№ 7. Решите неравенство √[5x – 6] > x.
ОТВЕТ: (ОДЗ: x>= 1,2) x принадлежит (2; 3).

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Найдите значение выражения:
► 1) \(0.5 \cdot 64^{\frac{1}{6}}\)
Решение:
\(64 = 2^6\), \(64^{1/6} = (2^6)^{1/6} = 2^1 = 2\).
\(0.5 \cdot 2 = 1\).
Ответ: \(1\)
► 2) \(49^{1.5}\)
Решение:
\(49 = 7^2\), \(49^{1.5} = (7^2)^{3/2} = 7^{3} = 343\).
Ответ: \(343\)
► 3) \(\left(1\frac{13}{36}\right)^{-0.5}\)
Решение. Сначала переведём смешанное число в дробь:
\( 1\frac{13}{36} = \frac{36+13}{36} = \frac{49}{36}.\)
Теперь возведение в степень \(-0.5\) означает взятие обратной величины и квадратного корня:
\( \left(\frac{49}{36}\right)^{-0.5} = \left(\frac{36}{49}\right)^{0.5} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \frac{6}{7}.\)
Ответ: \(\frac{6}{7}\)

№ 2. Упростите выражение:
► 1) \(a^{4.6} \cdot a^{3.1}\)
Решение:
\(a^{4.6 + 3.1} = a^{7.7}\).
Ответ: \(a^{7.7}\)
► 2) \(a^{\frac{8}{15}} : a^{-\frac{1}{6}}\)
Решение:
\(a^{\frac{8}{15} — (-\frac{1}{6})} = a^{\frac{8}{15} + \frac{1}{6}}\).
Приводим к общему знаменателю 30:
\(\frac{8}{15} = \frac{16}{30}\), \(\frac{1}{6} = \frac{5}{30}\), сумма \(= \frac{21}{30} = \frac{7}{10}\).
Ответ: \(a^{7/10}\)
► 3) \((a^{-0.8})^{4} \cdot (a^{-1.4})^{-2} : (a^{0.4})^{-6}\)
Решение:
\((a^{-0.8})^{4} = a^{-3.2}\)
\((a^{-1.4})^{-2} = a^{2.8}\)
\((a^{0.4})^{-6} = a^{-2.4}\)
Получаем: \(a^{-3.2} \cdot a^{2.8} : a^{-2.4} = a^{-3.2 + 2.8 — (-2.4)?}\)
Проверяем: \(a^{-3.2} \cdot a^{2.8} = a^{-0.4}\), делим на \(a^{-2.4}\) — это \(a^{-0.4 — (-2.4)} = a^{-0.4 + 2.4} = a^{2.0}\).
Ответ: \(a^{2}\)
► 4) \(\left(a^{4\frac{3}{8}} b^{2\frac{11}{12}} \right)^{\frac{4}{35}}\)
Решение:
Переведём показатели в неправильные дроби:
\( 4\frac{3}{8} = \frac{32+3}{8} = \frac{35}{8},\)
\( 2\frac{11}{12} = \frac{24+11}{12} = \frac{35}{12}. \)
Подставим в выражение:
\( \left(a^{35/8} \cdot b^{35/12}\right)^{4/35}. \)
Умножим показатели:
\( a^{\frac{35}{8} \cdot \frac{4}{35}} = a^{\frac{4}{8}} = a^{1/2}, \)
\( b^{\frac{35}{12} \cdot \frac{4}{35}} = b^{\frac{4}{12}} = b^{1/3}. \)
Ответ: \(a^{1/2} b^{1/3}\)

№ 3. Решите уравнение:
\(\sqrt{15 — 2x} = -x\)
Решение:
ОДЗ: \(15 — 2x \ge 0 \Rightarrow x \le 7.5\).
Правая часть \(-x \ge 0 \Rightarrow x \le 0\).
Возводим в квадрат: \(15 — 2x = x^2\)
\(x^2 + 2x — 15 = 0\)
\(x = -5\) или \(x = 3\).
\(x = 3\) не подходит (не выполняется \(-x \ge 0\)).
Проверяем \(x = -5\): \(\sqrt{15 + 10} = \sqrt{25} = 5\), \(-x = 5\) — верно.
Ответ: –5.

№ 4. Сократите дробь:
► 1) \(\dfrac{m^{7/8} — 12}{m — 12 m^{1/8}}\)
Решение:
Пусть \(t = m^{1/8}\), тогда \(m^{7/8} = t^7\), \(m = t^8\).
Числитель: \(t^7 — 12\)
Знаменатель: \(t^8 — 12 t = t(t^7 — 12)\).
Дробь: \(\frac{t^7 — 12}{t(t^7 — 12)} = \frac{1}{t} = m^{-1/8}\).
Ответ: \(m^{-1/8}\)
► 2) \(\dfrac{b^{1/8} + 5 c^{1/14}}{b^{1/4} — 25 c^{1/7}}\)
\((b^{1/8})^2 — (5 c^{1/14})^2 = (b^{1/8} — 5 c^{1/14})(b^{1/8} + 5 c^{1/14})\).
Сокращаем с числителем, остается \(\frac{1}{b^{1/8} — 5 c^{1/14}}\).
Ответ: \(\frac{1}{b^{1/8} — 5 c^{1/14}}\)
► 3) \(\dfrac{x^{1/3} + 6 x^{1/6} y^{1/4} + 9 y^{1/2}}{x^{1/3} y^{1/4} + {3 x^{1/6} y^{1/2}}}\)
Решение:
Обозначим \(u = x^{1/6}\), \(v = y^{1/4}\). Тогда:
\( x^{1/3} = u^2, \quad x^{1/6} = u, \quad y^{1/4} = v, \quad y^{1/2} = v^2. \)
Числитель:
u^2 + 6 u v + 9 v^2 = (u + 3v)^2.
Знаменатель:
u^2 v + 3 u v^2 = u v (u + 3v).
Сокращаем на \(u + 3v\):
\( \frac{(u + 3v)^2}{u v (u + 3v)} = \frac{u + 3v}{u v}. \)
Возвращаемся к \(x, y\):
\( \frac{x^{1/6} + 3 y^{1/4}}{x^{1/6} y^{1/4}}. \)
Ответ: \(\frac{x^{1/6} + 3 y^{1/4}}{x^{1/6} y^{1/4}}\)

№ 5. Постройте график функции:
\(y = ((x — 3)^{1/9})^9\)
Решение:
\((x — 3)^{1/9}\) определен при \(x \ge 3\) (если рассматриваем вещественные значения для нецелой степени). Возведение в 9-ю степень дает \(y = x — 3\) при \(x \ge 3\).
Ответ: луч \(y = x — 3\), \(x \ge 3\).

№ 6. Решите уравнение:
► 1) \(\sqrt[3]{x+10} + \sqrt[6]{x+10} = 6\)
Решение:
Пусть \(t = \sqrt[6]{x+10} \ge 0\), тогда \(\sqrt[3]{x+10} = t^2\).
\(t^2 + t — 6 = 0\)
\(t = 2\) или \(t = -3\) (не подходит).
\(t = 2 \Rightarrow x+10 = 2^6 = 64 \Rightarrow x = 54\).
Ответ: 54.
► 2) \(\sqrt{x+4} — \sqrt{x-1} = 1\)
Решение: ОДЗ: \(x \ge 1\).
\(\sqrt{x+4} = 1 + \sqrt{x-1}\)
Возводим в квадрат: \(x+4 = 1 + 2\sqrt{x-1} + x — 1\)
\(x+4 = x + 2\sqrt{x-1}\)
\(4 = 2\sqrt{x-1} \Rightarrow \sqrt{x-1} = 2 \Rightarrow x-1 = 4 \Rightarrow x = 5\).
Проверка: \(\sqrt{9} — \sqrt{4} = 3 — 2 = 1\) — верно.
Ответ: 5.

№ 7. Решите неравенство:
\(\sqrt{6x — 8} > x\)
Решение:
ОДЗ: \(6x — 8 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{4}{3}\).
Рассмотрим два случая:
1) \(x < 0\): неравенство верно (левая часть \(\ge 0\), правая < 0), но с ОДЗ \(x \ge 4/3\) — нет таких \(x\).
2) \(x \ge 0\): возводим в квадрат:
\(6x — 8 > x^2\)
\(x^2 — 6x + 8 < 0\)
\((x — 2)(x — 4) < 0 \Rightarrow 2 < x < 4\).
Учитываем ОДЗ \(x \ge 4/3\) и условие \(x \ge 0\), итого \(2 < x < 4\).
Проверим границы:
\(x = 2\): \(\sqrt{4} = 2 > 2\) — ложно.
\(x = 4\): \(\sqrt{16} = 4 > 4\) — ложно.
Ответ: (2, 4).

Вы смотрели: Контрольная работа № 3 по алгебре «Степень с рациональным показателем и её свойства. Иррациональные уравнения и неравенства» для 10 класса УМК Мерзляк Базовый уровень. Цитаты из пособия «Дидактические материалы.  Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый уровень». Алгебра 10 Мерзляк КР-3.

Вернуться к Списку контрольных работ по алгебре 10 класс